Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 09 ตุลาคม 2012, 21:17
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default อสมการค่าย1

a,b,c,d>0 prove

$$ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geqslant \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}$$
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 09 ตุลาคม 2012, 21:37
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

เหมือนมีคนลงเเล้วอ่ะครับ
กำหนดฟังก็ชัน $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4-px^3+qx^2-rx+s$
$f '(x)=4x^3-3px^2+2qx-r=(x-k)(x-m)(x-n)$
ดังนั้น $$\frac{3p}{4}=k+m+n\ge 3\sqrt[3]{kmn}=3\sqrt[3]{\frac{r}{4}}$$
ซึ่งเหลือเพียงเเสดงว่า $\sqrt{\frac{p^2-2q}{4}}\ge p/4\leftrightarrow 3p^2-8q\ge 0$
ซึ่งจริงเพราะ $(a+b+c+d)^2\ge \dfrac{8}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$
__________________
Vouloir c'est pouvoir

09 ตุลาคม 2012 22:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
เหตุผล: เเก้เเล้วครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 09 ตุลาคม 2012, 21:39
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

แล้วมันทำอสมการตรงๆไม่ได้หรอครับ
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 09 ตุลาคม 2012, 22:01
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
$a^2+b^2+c^2+d^2\geq \dfrac{8}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$
ผมคิดว่า $a^2+b^2+c^2+d^2\geq \dfrac{2}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$ นะครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 09 ตุลาคม 2012, 22:07
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

เพิ่มอีกครับ ผมไม่เก่งด้านนี้

0<a,b,c<1,a+b+c=2 prove

ผลคูณ cyc ของ $\frac{a}{1-a} >=8$
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends

09 ตุลาคม 2012 22:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 09 ตุลาคม 2012, 22:18
Keehlzver's Avatar
Keehlzver Keehlzver ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 มกราคม 2009
ข้อความ: 533
Keehlzver is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133 View Post
เพิ่มอีกครับ ผมไม่เก่งด้านนี้

0<a,b,c<1,a+b+c=2 prove

ผลคูณ cyc ของ $\frac{a}{1-a} >=8$
เปลี่ยนตัวแปร $1-a=x$ ครับ จบด้วย AM-GM
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!"
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 09 ตุลาคม 2012, 22:31
Form's Avatar
Form Form ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 22 เมษายน 2012
ข้อความ: 264
Form is on a distinguished road
Default

เปลี่ยนตัวแปรทั้งa,b,cตาม #6
ได้เป็น $ L.S. = (\frac{1-x}{x})(\frac{1-y}{y})(\frac{1-z}{z}) =\frac{1+xy+yz+zx-x-y-z-xyz}{xyz}$
$ a+b+c=(1-x)+(1-y)+(1-z)=2 ได้ x+y+z=1 $
$ L.S.=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-1 $
$ =(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(x+y+z)-1 $
เพราะว่า $x+y+z =1 $
By A.M.-H.M. ได้ว่า
$ L.S.\geqslant 3^2-1=8 $
__________________
You may face some difficulties in your ways
But it’s “Good” right ?

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 09 ตุลาคม 2012, 22:32
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

#4 เเก้เเล้วครับเบลอเอง
#6 แบบนี้สินะครับ จะได้ว่า $x+y+z=1$ เเละต้องการเเสดงว่า
$$\frac{(1-x)(1-y)(1-z)}{xyz}\ge 8\leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\ge 8$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 09 ตุลาคม 2012, 22:57
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

เย้ขอบคุณครับ ทำไมผมคิดไม่ออกนะ
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 09 ตุลาคม 2012, 22:59
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

ผมทำแบบนี้ครับ มันจะได้
ก้อนนั้นหลังเปลี่ยนตัวแปล $\frac{(x+y)(x+z)(z+y)}{xyz}$

Am GM ตัวในวงเล็บได้เลย ทำได้ข้อแรก(โดยมีhint)
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 09 ตุลาคม 2012, 23:07
Form's Avatar
Form Form ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 22 เมษายน 2012
ข้อความ: 264
Form is on a distinguished road
Default

ขอบคุณครับ
ตอนสอบจริงมองไม่เคยออก 555+
__________________
You may face some difficulties in your ways
But it’s “Good” right ?

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 09 ตุลาคม 2012, 23:19
Pain 7th Pain 7th ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 เมษายน 2012
ข้อความ: 198
Pain 7th is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133 View Post
a,b,c,d>0 prove

$$ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geqslant \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}$$
ข้อนี้สวยพอตัวนะครับ


ก็เอา lemma ที่ได้ไปแทนครับ ก็จะได้

$$\dfrac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}$$

มันยังคงเหลือที่เราต้องพิสูจน์ว่า

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geq \dfrac{a+b+c+d}{4}$$

ซึ่งเป็นจริงตามอสมการโคชี
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 09 ตุลาคม 2012, 23:23
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

อยู่ในห้องสอบผมจะได้ขนาดนี้ไหมเนี่ย ตั้งหลายstep
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:52


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha