hard inequalities

[dektep]

1.Let a,b,c,d be positeve numbers such that abcd=1 Prove that
$\frac{1}{1+a+a^2+a^3}$+$\frac{1}{1+b+b^2+b^3}$+$\frac{1}{1+c+c^2+c^3}$+$\frac{1}{1+d+d^2+d^3}$ $\geq$ 1
2.Let a,b,c be non-negative numbers, no two of which are zero.Prove that
$\frac{a^4}{a^3+b^3}$+$\frac{b^4}{b^3+c^3}$+$\frac{c^4}{c^3+a^3}$ $\geq$ $\frac{a+b+c}{2}$

[dektep]

3.Show that for positive reals a,b,c
$$\sum_{cyc}^{} \frac{1}{(4a^2-ab+4b^2)} ≥ \frac{9}{7(a^2+b^2+c^2)}$$

[putmusic]

อ่านไม่ออกเลยครับ ภ้าแปลเป็นไทย ผมยังพอทำได้บ้างนะครับ แต่อันนี้เป็นอังกฤา ผมคงหมดหวังครับ

[Spotanus]

ข้อหนึ่งผมเดาว่าน่าจะใช้ จัดรูป แล้ว AM-GM ครับ
เดี๋ยวจะเอา Solution มาลงให้ (ถ้าออกนะครับ)

[kanakon]

ข้อสามคุณ dektep ลองใช้ $ สองตัว(ตามใค้ด)จะสวยกว่านะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

3.Show that for positive reals a,b,c
$$\sum_{cyc}^{} \frac{1}{(4a^2-ab+4b^2)} ≥ \frac{9}{7(a^2+b^2+c^2)}$$

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

1.Let a,b,c,d be positeve numbers such that abcd=1 Prove that
$\frac{1}{1+a+a^2+a^3}$+$\frac{1}{1+b+b^2+b^3}$+$\frac{1}{1+c+c^2+c^3}$+$\frac{1}{1+d+d^2+d^3}$ $\geq$ 1

A.M.-H.M. inequality
$$\frac{\frac{1}{1+a+a^2+a^3}+\frac{1}{1+b+b^2+b^3}+\frac{1}{1+c+c^2+c^3}+\frac{1}{1+d+d^2+d^3}}{4}\geq \frac{4}{4+(a+b+c+d)+(a^2+b^2+c^2+d^2)+(a^3+b^3+c^3+d^3)} $$
$$\because a+b+c+d\geq 4,a^2+b^2+c^2+d^2\geq 4,a^3+b^3+c^3+d^3\geq 4$$
$$\therefore \frac{1}{1+a+a^2+a^3}+\frac{1}{1+b+b^2+b^3}+\frac{1}{1+c+c^2+c^3}+\frac{1}{1+d+d^2+d^3}\geq \frac{16}{16}=1 $$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

A.M.-H.M. inequality
$$\frac{\frac{1}{1+a+a^2+a^3}+\frac{1}{1+b+b^2+b^3}+\frac{1}{1+c+c^2+c^3}+\frac{1}{1+d+d^2+d^3}}{4}\geq \frac{4}{4+(a+b+c+d)+(a^2+b^2+c^2+d^2)+(a^3+b^3+c^3+d^3)} $$
$$\because a+b+c+d\geq 4,a^2+b^2+c^2+d^2\geq 4,a^3+b^3+c^3+d^3\geq 4$$
$$\therefore \frac{1}{1+a+a^2+a^3}+\frac{1}{1+b+b^2+b^3}+\frac{1}{1+c+c^2+c^3}+\frac{1}{1+d+d^2+d^3}\geq \frac{16}{16}=1 $$

ผมคิดว่าตรงสุดท้ายน่าจะกลับข้างครับ เพราะว่า ถ้า $a+b+c+d\geq 4,a^2+b^2+c^2+d^2\geq 4,a^3+b^3+c^3+d^3\geq 4$
แล้ว $$\frac{4}{4+(a+b+c+d)+(a^2+b^2+c^2+d^2)+(a^3+b^3+c^3+d^3)} \leq \frac{1}{4}$$