ข้อสอบ FE ค่ายเมษา

[mathstudent2]

จงหาฟังก์ชันแยกคูณ f และ g ซึ่ง f \not= g แต่ f(p) = g(p) สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ p

ข้อนี้ทำไม่ได้กันเยอะ

[owlpenguin]

แต่มันไม่ใช่ FE อ่ะครับ มันอยู่ในวิชา NT เรื่อง Arithmetic function ครับ
ข้อนี้ผมก็ได้แค่ว่า f(x)=g(x) ทุก x ที่เป็น squarefree ครับ

[Anarist]

ปกติค่าของ multiplicative function จะขึ้นกับค่าของ $p^k$ all prime p and n > 0.
เพราะฉะนั้นข้างบนก็ถูกแล้วที่จะได้ว่ามันจะเท่ากันที่ x squarefree
แต่โจทย์ให้หาเฉยๆ ผมว่าถ้าเรากำหนดให้ค่าของ $p^k, k>1$ ให้มันแปลกๆแตกต่างกันก็น่าจะได้นะครับ แต่ฟังชั่นก็อาจจะดูแปลกหน่อย
ถ้าจะให้สวยๆ ผมกำลังคิดว่า มีวิธีสร้างดีๆ โดยใช้พวก $\tau , \sigma, \phi, \mu$ รึเปล่า

คิดถึงข้อสอบในค่ายจริงๆ เหอเหอ

[owlpenguin]

ผมคิดว่าอย่างน้อยฟังก์ชันนึงควรมี มิวฟังก์ชัน เป็นส่วนประกอบ
เพราะเท่าที่นึกออกตอนนี้ มิวฟังก์ชัน มันแยกจำนวนที่เป็น squarefree กับ non-squarefree ออกจากกันได้

อะ... ได้แย้ว...
$f(x)=(\mu(x))^{2}$
$g(x)=1$ แค่นี้ก็ได้แล้วครับ (เซงเลย ทำไมนึกไม่ออกในห้องสอบเนี่ย...)

โจทย์มันบอกว่า "จงหา" นี่คือต้องหาให้หมดหรือหาแค่ตัวอย่างเดียวก็พอครับ
รู้แต่ว่าถ้าให้หาฟังก์ชันทั้งหมดที่เป็นไปได้นี่คงโหดร้ายไป

[Anarist]

เยี่ยมเลยครับสำหรับตัวอย่างนี้ แต่ก็ช่วยเซ็งแทนด้วยนิดหน่อย (เข้าใจความรู้สึกแนวออกห้องสอบปุ๊ปทำได้ปั๊ป มากมาย)

ปกติโจทย์ "จงหา" คือหาแค่ตัวอย่างนึกก็พอนะครับ จะไม่เหมือน "จงหาทั้งหมด" (Find a function ... VS Find all functions ...)
โจทย์แนวนี้ส่วนใหญ่ต้อง construct เอา แต่ก็บางทีก็ต้องหาเงื่อนไขบางอย่างให้ได้ก่อนแล้วจะง่ายขึ้น (เช่น เรื่อง squarefree)
ก็ระวังๆไว้นะครับ พี่(น่าจะยังเป็นพี่นะ)ก็เคยโดนบ่อย แบบอ่านตกไปตัวแล้วเผลอไปนั่งหาทั้งหมดนี่ ไม่มีวันออกเลย

[nooonuii]

ผมว่าสร้างได้เยอะแยะเลยครับ ผมก็สร้างได้คู่นึง

$$f(n)=n$$

$$g(n)= \cases{1 & , n=1 \cr p_1p_2\cdots p_k & , n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}} $$

โจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์แบบฝึกหัดในหนังสือ ทฤษฎีจำนวน ของ สอวน. เลยนี่ครับ ถ้าใครได้ทำโจทย์มาก่อนก็คงทำได้ครับ

[mathstudent2]

ขอโทษด้วยครับที่ผมเขียนผิด

[OsTan]

นี่ไงอีกคู่

$f(x)=\left(\mu\left(\tau\left(x\right) \right) \right)^2$
$g(x)=\phi \left(\tau \left(x\right) \right)$