ทำสี่เหลี่ยมนี้ยังไงครับ

[ไซโคลน]

สี่เหลี่ยมผืนผ้าABCDมีPเป็นจุดในสี่เหลี่ยม ซึ่งPA=29,PB=25และPC=17 จงหาพื้นที่

[กิตติ]

ข้อนี้มีเฉลยแล้วครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ไซโคลน

ผมได้ตั้งข้อต่อไปใช่ไหมครับ งั้นจัดไปเลย
***สี่เหลี่ยมผืนผ้าABCD มีPเป็นจุดข้างในสี่เหลี่ยม ซึ่งPA=29,PB=25,PC=17 จงหาพื้นที่และความยาวของPD

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

โจทย์ยังไม่เคลียร์...ยังค้างเรื่องพื้นที่สี่เหลี่ยม
เมื่อคืนนั่งคิดได้เท่ากับ1008
ไม่มีสูตรแก้...ต้องไล่หาจำนวนเอา แล้วไล่ใส่แทนไป
อย่าง$29^2=21^2+20^2$
ก็เอาค่า$20$และ$21$ไปหาดูว่าจะมีค่าไหนที่สัมพันธ์กับ$25^2$
พบว่า$25^2=20^2+15^2$.....เอาค่า$15$ไปไล่ดูว่าสัมพันธ์กับ$17$อย่างไร
พบว่า$17^2=15^2+8^2$
จะได้คำพื้นที่เท่ากับ $36\times 28 =1008$
ขอดัดแปลงรูปจากคุณอาBanker

กระทู้นี้ครับMarathon Primary#1

[ไซโคลน]

แล้วถ้าใช้การแปลงทางเรขาคณิตนี่พอจะช่วยได้มั้ยครับ

[กิตติ]

เท่าที่ความรู้เรขาคณิตเหลืออยู่คงไม่พอเฉลยแน่ๆ คงเหลือแต่การใช้ความรู้เรื่องปิทากอรัสกับการสังเกตเล็กน้อย ตัวอย่าง$5^2=3^2+4^2=(5-2)^2+(5-1)^2$
และ$10^2=8^2+6^2=(10-2)^2+(10-4)^2$.....เห็นอะไรไหมครับ
ขอดัดแปลงรูปหน่อยหนึ่งตามนี้

$29^2=x^2+z^2$...(1)
$25^2=y^2+z^2$...(2)
$17^2=y^2+k^2$...(3)
จากข้อสังเกตที่เห็นข้างต้น...จะกำหนดให้ว่า$x=29-a$
$z=29-b=25-c$.....ตรงนี้มาจากการที่ด้าน$z$เป็นความยาวสมมูลย์กัน
$y=25-d=17-e $(ก็มาจากด้านที่สมมูลย์กัน ดูรูปแล้วจะเข้าใจครับ) และ $k=17-f$ เมื่อกำหนดให้$a,b,c,d,e$ และ$f$ เป็นจำนวนเต็มบวก
มาดูสมการ(3)ก่อนแล้วแทนค่า...$17^2=(17-e)^2+(17-f)^2$
$[17-(e+f)]^2=2ef$.....ถอดรูทก่อน....$17-(e+f)=\sqrt{2ef} $
เมื่อ$e,f$เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งค่าน้อยที่สุดคือ $e=1,f=1$จะได้ว่า$\sqrt{2ef}$มีค่ามากที่สุดคือ$15$ ดังนั้น$2ef =225 \rightarrow ef=\frac{225}{2} $ แต่เรากำหนดว่าเป็นจำนวนเต็มบวกนี่ครับดังนั้น กลับมาดูค่า$ef$ที่เป็นไปได้คือ$\frac{224}{2}=112 $ แต่$ef$ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์และต้องมี$2$เป็นตัวประกอบเพื่อดึงให้$\sqrt{2ef} $ถอดรูทได้ ดังนั้นค่า$ef$ที่เป็นไปได้คือ
1.$ef=2\times 49 , \sqrt{2ef} =14 , e+f=3 $
2.$ef=2\times 36 , \sqrt{2ef} =12 , e+f=5 $
3.$ef=2\times 25 , \sqrt{2ef} =10 , e+f=7 $
4.$ef=2\times 16 , \sqrt{2ef} =8 ,e+f=9 $
5.$ef=2\times 9 , \sqrt{2ef} =6 ,e+f=11 $
6.$ef=2\times 4 , \sqrt{2ef} =14 , e+f=13 $
ผมเลือกสมการ3เพราะเห็นแล้วว่าน่าจะแยกกรณีน้อยกว่าการเลือกสมการที่มีพจน์$25$และ$29$....ทำจากตรงนั้นรับรองบักโกรกแน่ๆ
จากการแยกตัวประกอบทั้ง6กรณีจะได้ว่ามีเพียง5.$ef=2\times 9 , \sqrt{2ef} =6 ,e+f=11 $ที่ให้ค่าตามต้องการ
จะได้ค่ามา2กรณีคือ
1.$e=2,f=9,d=10$
นำไปหาค่าด้วยการแทนลงในสมการ2และ3....ได้ค่า$y=15,k=8,z=20$และ$x=21$
พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับ$(21+15)\times (20+8)=36\times 28 =1008$
2.$e=9,f=2,d=17$
นำไปหาค่าด้วยการแทนลงในสมการ2และ3....ได้ค่า$z=\sqrt{17\times 33} $ซึ่งไม่ใช่จำนวนที่ถอดรูทออก กรณีนี้จึงไม่ใช่คำตอบ
จึงได้ตามเฉลยครับ.....ผมคิดวิธีเฉลยได้เท่านี้....ไม่รู้ว่าจะอธิบายให้ง่ายกว่านี้ได้ไหม...ลองคิดตามดูแล้วกันครับ
โจทย์ข้อนี้ถามง่ายแต่ตอบยาก....ใช้ความรู้เรื่องตัวเลขมากกว่าในการตอบครับ

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ไซโคลน

สี่เหลี่ยมผืนผ้าABCDมีPเป็นจุดในสี่เหลี่ยม ซึ่งPA=29,PB=25และPC=17 จงหาพื้นที่

ใช้ $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$ อ่ะ พิสูจน์โดย Pytagorus