ข้อสอบ เพชรยอดมงกุฏ ม.ต้น สดๆ...

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ XCapTaiNX

เพิ่มให้อีก 2 ข้อครับ



อันนี้ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏปี 52 (สำหรับตัว b) แต่ตัว a เพิ่มมาใหม่ กลายมาเป็นข้อสอบปี 53 ครับ

xx.) ให้ a = $2(2+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{2-\sqrt{3}})$
และให้ b = $\sqrt{19+4\sqrt{21}}+\sqrt{7}-\sqrt{12}-\sqrt{29-2\sqrt28}$
จงหาค่าของ $a^2-b^2$

a = $2[(2+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2})](\sqrt{2-\sqrt{3}})$

a = $2[\sqrt{2} (2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)](\sqrt{2-\sqrt{3}})$

a = $2[\sqrt{2} (\sqrt{3}+1)](\sqrt{2-\sqrt{3}})$

a = $2\sqrt{(\sqrt{2} (\sqrt{3}+1))^2(2-\sqrt{3})}$

a = $2\sqrt{(2 (4+2\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

a = $2\sqrt{(2 \times 2(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

$ a = 2 \sqrt{4} $

$a =4$




$ b = \sqrt{19+4\sqrt{21}}+\sqrt{7}-\sqrt{12}-\sqrt{29-2\sqrt28}$

$ b = \sqrt{12++4\sqrt{21} +7 }+(\sqrt{7})- (2\sqrt{3})-\sqrt{28 - 2\sqrt28 +1 }$

$ b = \sqrt{(2\sqrt{3}+\sqrt{7} )^2}+(\sqrt{7})- (2\sqrt{3})-\sqrt{(\sqrt{28}-1 )^2}$

$ b = (2\sqrt{3}+\sqrt{7} ) +(\sqrt{7})- (2\sqrt{3})- (\sqrt{28}-1 ) $

$ b = 2\sqrt{3}+\sqrt{7} +\sqrt{7}- 2\sqrt{3} - 2\sqrt{7}+1 $

$ b = 1$



$a^2-b^2 = 4^2 -1^2 = 16 -1 = 15$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$3(a^2+b^2) = 10ab$

$a^2+b^2 = \frac{10ab}{3}$ ....(*)

$a^2+b^2 +2ab = \frac{10ab}{3} + 2ab $

$(a+b)^2 = \frac{16ab}{3}$

$(a+b) = \pm 4\sqrt{\frac{ab}{3}} $



$a^2+b^2 -2ab = \frac{10ab}{3} - 2ab $

$(a-b)^2 = \frac{4ab}{3} \ \ \ \ \ \ \ $

$(a-b) = - 2\sqrt{\frac{ab}{3}} \ \ \ \ $ $a<b$


$\frac{(a+b)}{(a-b)} = \frac{4\sqrt{\frac{ab}{3}}}{ - 2\sqrt{\frac{ab}{3}}} = -2$

$(\frac{(a+b)}{(a-b)})^3 = (-2)^3 = -8 $ .....(1)


$\frac{(a+b)}{(a-b)} = - \frac{4\sqrt{\frac{ab}{3}}}{ - 2\sqrt{\frac{ab}{3}}} = 2$

$(\frac{(a+b)}{(a-b)})^3 = (2)^3 = 8 $ .....(2)



$(\frac{a+b}{a-b})^3 = -8, \ \ 8$

$a<b$ นะครับ ต้องตอบ $-8$ นะครับ

มีของม.ปลายมาฝาก

ให้ $x^2-7x+1=0$ จงหา $x^4+x^{-4}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

มีของม.ปลายมาฝาก

ให้ $x^2-7x+1=0$ จงหา $x^4+x^{-4} $

$x^2-7x+1=0$

$x \not= 0 $ หารตลอด $ \ \ x -7 + \frac{1}{x} = 0$

$x + \frac{1}{x} = 7$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 49 -2 =47$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 47^2 -2 = 2209 -2 = 2207 $

[คนอยากเก่ง]

ข้อ 13 ทำอย่างไรครับ

[pepyoyo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

ข้อ 13 ทำอย่างไรครับ

วิธีของคุณ iMsOJ2i2y ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ iMsOJ2i2y

ไม่ทราบว่าถูกต้องไหมแต่ผมทำแบบนี้ครับ

โจทย์กำหนดให้ $P(x^2-x) = 3x^2+2x$ ----------------(1)

หาค่าของ x ที่ให้ $x^2-x=2$ ; $x^2-x=2$

$x^2-x-2=0$

$(x-2)(x+1)=0$

$x= 2 , -1$

เนื่องจาก x>0 (โจทย์กำหนดตัวนี้มาด้วยนะครับ) จึงได้ $x=2$

แทนค่า x=2 ลงใน (1) ; $P((2)^2-(2)) = 3(2)^2+2(2)$

$P(2) = 12 + 4 $

$P(2) = 16$ -------------------------(2)

หาค่าของ x ที่ทำให้ $x^2-x=6$ ; $x^2-x = 6$

$x^2-x-6 = 0$

$(x+2)(x-3) = 0$

$x = -2 , 3$

เนื่องจาก x>0 จึงได้ $x=3$

แทนค่า x=3 ลงใน (1) ; $P((3)^2-(3)) = 3(3)^2+2(3)$

$P(6) = 27+6$

$P(6) = 33$ ------------------------(3)

นำ (2) + (3) ; $P(2)+P(6) = 16 + 33 = 49

ตอบ ๔๙

ผิดพลาดอันใดขออภัยนะครับ

ไหนๆ ก็โพส แล้ว เห็นยังไม่มีวิธีทำ ข้อ 1 ก็ ลองโพสวิธีทำดูซะเลย...

1. ให้ a,b,c,d,e เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน
ถ้า (6-a)(6-b)(6-c)(6-d)(6-e) = 45
แล้ว a+b+c+d+e มีค่าเท่ากับเท่าไร

จาก 45 = 5*3*3

เพราะฉะนั้น จากโจทย์ กล่าวว่า จำนวน a b c d e เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน

ดังนั้น 5 วงเล็บดังกล่าว จึงต้องเป็นจำนวนเต็ม ที่คูณกันแล้วได้ 45

จึง บอกได้ว่าค่าในวงเล็บทั้ง 5 ต้องได้ดังนี้ ได้ดังนี้

(5)(3)(-3)(-1)(1) = 45

6-a = 5
a = 1

6-b = 3
b = 3

6-c = -3
c = 9

6-d = -1
d = 7

6-e = 1
e = 5

ดังนั้น a+b+c+d+e = 1+3+5+7+9 = 25

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$3(a^2+b^2) = 10ab$

$a^2+b^2 = \frac{10ab}{3}$ ....(*)

$a^2+b^2 +2ab = \frac{10ab}{3} + 2ab $

$(a+b)^2 = \frac{16ab}{3}$

$(a+b) = \pm 4\sqrt{\frac{ab}{3}} $



$a^2+b^2 -2ab = \frac{10ab}{3} - 2ab $

$(a-b)^2 = \frac{4ab}{3} \ \ \ \ \ \ \ $

$(a-b) = - 2\sqrt{\frac{ab}{3}} \ \ \ \ $ $a<b$


$\frac{(a+b)}{(a-b)} = \frac{4\sqrt{\frac{ab}{3}}}{ - 2\sqrt{\frac{ab}{3}}} = -2$

$(\frac{(a+b)}{(a-b)})^3 = (-2)^3 = -8 $ .....(1)


$\frac{(a+b)}{(a-b)} = - \frac{4\sqrt{\frac{ab}{3}}}{ - 2\sqrt{\frac{ab}{3}}} = 2$

$(\frac{(a+b)}{(a-b)})^3 = (2)^3 = 8 $ .....(2)



$(\frac{a+b}{a-b})^3 = -8, \ \ 8$

ไม่ต้องถึกครับ แยกตัวประกอบออกมาก็ได้

[กิตติ]

ข้อ13...$P(x^2-x)=3x^2+2x$ ให้หา$P(2)+P(6)$
งงในเฉลยว่าเลือกค่าxที่เป็นบวกแล้วตัดค่าxที่เป็นลบออก
ผมลองทำแบบวิธีลุยดุ่มๆ พยายามหา$P(x)$ออกมาก่อน หลายคนคงบอกว่าอาจไม่จำเป็นใช้ทริคเอา แต่ผมลืมไปหมดแล้ว
ให้$x^2-x=A \rightarrow x^2-x-A=0 $
ใช้สูตรการแก้หาค่าได้$x=\frac{1\pm \sqrt{1+4A} }{2} $
แทนค่า$x$ลงไปใน$P(x)$
$P(A)=\frac{5}{2}(1+\sqrt{1+4A} ) +3A$ ...(1)
กับ $P(A)=\frac{5}{2}(1-\sqrt{1+4A} ) +3A$...(2)
ดูที่(1) $P(2)=16$ และ$P(6)=33$.....ได้ $P(2)+P(6) = 49$
ดูที่(2) $P(2)=1$ และ$P(6)=8$.....ได้ $P(2)+P(6) = 9$

ถ้าลองใส่ตัวเลขดู...$2=2^2-2$ จะได้ว่า$P(2^2-2)=P(2)=3(2)^2+2(2)=16$
$6=3^2-3$ จะได้ว่า$P(3^2-3)=P(6)=3(3)^2+2(3)=33$
ได้ว่า..$P(2)+P(6) =16+33= 49$

กำลังงงว่าทำไมวิธีแรกถึงต้องตัดค่าที่เป็นลบออก....ใครรู้ช่วยบอกทีครับ

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ13...$P(x^2-x)=3x^2+2x$ ให้หา$P(2)+P(6)$
งงในเฉลยว่าเลือกค่าxที่เป็นบวกแล้วตัดค่าxที่เป็นลบออก
ผมลองทำแบบวิธีลุยดุ่มๆ พยายามหา$P(x)$ออกมาก่อน หลายคนคงบอกว่าอาจไม่จำเป็นใช้ทริคเอา แต่ผมลืมไปหมดแล้ว
ให้$x^2-x=A \rightarrow x^2-x-A=0 $
ใช้สูตรการแก้หาค่าได้$x=\frac{1\pm \sqrt{1+4A} }{2} $
แทนค่า$x$ลงไปใน$P(x)$
$P(A)=\frac{5}{2}(1+\sqrt{1+4A} ) +3A$ ...(1)
กับ $P(A)=\frac{5}{2}(1-\sqrt{1+4A} ) +3A$...(2)
ดูที่(1) $P(2)=16$ และ$P(6)=33$.....ได้ $P(2)+P(6) = 49$
ดูที่(2) $P(2)=1$ และ$P(6)=8$.....ได้ $P(2)+P(6) = 9$

ถ้าลองใส่ตัวเลขดู...$2=2^2-2$ จะได้ว่า$P(2^2-2)=P(2)=3(2)^2+2(2)=16$
$6=3^2-3$ จะได้ว่า$P(3^2-3)=P(6)=3(3)^2+2(3)=33$
ได้ว่า..$P(2)+P(6) =16+33= 49$

กำลังงงว่าทำไมวิธีแรกถึงต้องตัดค่าที่เป็นลบออก....ใครรู้ช่วยบอกทีครับ

ผมจำได้ว่าโจทย์กำหนดให้ x > 0 ครับ ( รู้สึกจะใช่นะครับ )

[Xx GAMMA xX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ XCapTaiNX

โอ้เกือบถูกครับ นัฐพล ศิริธาดากุล

ขอโทษครับสงสัยผมจำผิดครับ

[Xx GAMMA xX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ไม่ต้องถึกครับ แยกตัวประกอบออกมาก็ได้

สำหรับวิธีแยกตัวประกอบนะครับ(พี่bankerอาจจะลืม)
$3a^2-10ab+3b^2=0$
$(3a-b)(a-3b)=0$
ได้$a=\frac{b}{3},3b $
จากโจทย์$a,b>0$และ$a<b$
ดังนั้น$a=\frac{b}{3}$

$(\frac{a+b}{a-b})^3=(\frac{\frac{4b}{3} }{\frac{-2b}{3} } )^3=(-2)^3 =-8$

ปล.โจทย์กำหนด$a,b>0$ด้วยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Xx GAMMA xX

สำหรับวิธีแยกตัวประกอบนะครับ(พี่bankerอาจจะลืม)
$3a^2-10ab+3b^2=0$
$(3a-b)(a-3b)=0$
ได้$a=\frac{b}{3},3b $
จากโจทย์$a,b>0$และ$a<b$
ดังนั้น$a=\frac{b}{3}$

$(\frac{a+b}{a-b})^3=(\frac{\frac{4b}{3} }{\frac{-2b}{3} } )^3=(-2)^3 =-8$

ปล.โจทย์กำหนด$a,b>0$ด้วยครับ

ขอบคุณครับ

[Xx GAMMA xX]

แหะๆไม่เป็นไรครับ

เพิ่งนึกออกครับโจทย์รอบเพชรฯครับ
16สามารถเขียนในรูปผลบวกของจน.นับได้หลายวิธี
เช่น 16=9+7=5+5+6=1+3+4+4
จงหาเลขที่มากที่สุดที่เกิดจากการคูณกันของเลขแต่ละตัวที่นำมาบวกกัน

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Xx GAMMA xX

แหะๆไม่เป็นไรครับ

เพิ่งนึกออกครับโจทย์รอบเพชรฯครับ
16สามารถเขียนในรูปผลบวกของจน.นับได้หลายวิธี
เช่น 16=9+7=5+5+6=1+3+4+4
จงหาเลขที่มากที่สุดที่เกิดจากการคูณกันของเลขแต่ละตัวที่นำมาบวกกัน

$16=3+3+3+3+2+2$
ผลคูณ $3\times3\times3\times3\times2\times2=324$
(ไม่รู้มีมากกว่านี้มั้ยอ่ะครับ)

[Xx GAMMA xX]

คุณpoperทำถูกแล้วครับยอดมาก

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$16=3+3+3+3+2+2$
ผลคูณ $3\times3\times3\times3\times2\times2=324$
(ไม่รู้มีมากกว่านี้มั้ยอ่ะครับ)

อยากรู้ว่ามีมากกว่านี้หรือไม่สามารถหาอ่านได้ในหนังสือ ทฤษฎีจำนวน ของ สอวน ในปัญหา maximum product