|
|
#1
22 พฤษภาคม 2006, 20:22
|
||||
|
||||
ปัญหาทฤษฎีจำนวน
จงหาจำนวนเต็มบวก m ทั้งหมด
ซึ่งมีคุณสมบัติว่า จำนวนของตัวหารบวกทั้งหมดของ m ยกกำลังสอง มีค่าเท่ากับ m (เช่น 9 มีตัวหารบวกทั้งหมด 3 ตัว คือ 1,3 และ 9 ซึ่ง 3 ยกกำลังสอง มีค่าเท่ากับ 9 แต่ 16 มีตัวหารบวกทั้งหมด 5 ตัว คือ 1,2,4,8 และ 16 ซึ่ง 5 ยกกำลังสอง ไม่เท่ากับ 16)
__________________
รักคณิตศาสตร์ 
|
|
#2
25 พฤษภาคม 2006, 14:18
|
|||
|
|||
|
จากสมบัติที่ให้มาจะได้ว่า m เป็นจำนวนกำลังสอง ให้
$$m=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$ จำนวนตัวประกอบยกกำลังสอง $$((2k_1+1)(2k_2+1)+...(2k_n+1))^2=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$ นั่นคือ $$(2k_1+1)(2k_2+1)+...(2k_n+1)=p_1^{k_1}p_2^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$$ เนื่องจากทางซ้ายเป็นจำนวนคี่ดังนั้น รู้แค่ว่า m เป็นจำนวนคี่แหละ หุหุ 
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$
|
|
#3
25 พฤษภาคม 2006, 14:49
|
|||
|
|||
|
จากสมบัติที่ให้มาจะได้ว่า m เป็นจำนวนกำลังสอง ให้
$$m=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$ จำนวนตัวประกอบยกกำลังสอง $$((2k_1+1)(2k_2+1)...(2k_n+1))^2=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$ นั่นคือ $$(2k_1+1)(2k_2+1)...(2k_n+1)=p_1^{k_1}p_2^{k_1}\cdots p_n^{k_n} = A$$ จะได้ว่า A เป็นจำนวนคี่ ให้ m = k1+k2+...+kn จะได้ว่า A ณ 3m เมื่อพิจารณาค่าของ (2k1+1)(2k2+1)...(2kn+1) = B จะได้ว่า B มีค่ามากที่สุดเมื่อ k1 = k2 = ... = kn = 1 ดังนั้น B ฃ 3 m ฃ A แต่เงื่อนไขของโจทย์คือ A = B ดังนั้น 3k = 2k+1 ซึ่งมีคำตอบเดียวที่เป็นจำนวนนับคือ 1 ดังนั้น A = B = 3 และ A2 = 9 จึงมีเพียงคำตอบเดียวเท่านั้นคือ 32 = 9 25 พฤษภาคม 2006 14:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ suthee
|
|
#4
25 พฤษภาคม 2006, 17:00
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
หรือสรุปได้เพียงว่า ดังนั้น 3 m ฃ A,B 
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$
|
  |
|
|
