#1
|
||||
|
||||
โจทย์เด็กเทพ
The sequence {x_n}_{n≥ 1} is defined by
x _{1} = 2, x_{n + 1} = \frac {2 + x_{n}}{1 - 2x_{n}}\;\; (n \in \mathbb{N}). Prove that a) x_n\not= 0 for all n∈\mathbb{N} , b) {x_n}_{n≥ 1}is not periodic. |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
a) สมมติว่ามี $n$ ที่ทำให้ $x_n = 0$ และให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $x_n = 0$ สังเกตว่า $x_{n-1} = -2$ $x_1 = 2$ , $x_{n-2} = \frac{4}{3}$ $x_2 = -\frac{4}{3}$ จะพิสูจน์ว่า $x_{n-k} = -x_k$ โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สังเกต $x_{n + 1} = \frac {2 + x_{n}}{1 - 2x_{n}}$ จัดการคูณ จัดรูป ย้ายข้าง แล้วจะได้ว่า $x_{n}=\frac{x_{n+1}-2}{1+2x_{n+1}}$__________________________(1) ขั้่นฐาน เมื่อ $k=1$ จาก $x_{n-1} = -2$ $x_1 = 2$ เป็นจริงโดยชัดเจน ขั้นอุปนัย ถ้า เมื่อ $k=i$ เป็นจริงแล้ว เมื่อ $k=i+1$ จะเป็นจริงด้วย จาก (1) แทน $n=x-(i+1)$ ได้ว่า $x_{n-(i+1)}=\frac{x_{n-i}-2}{1+2x_{n-i}}$ แต่จาก $x_{n-i} = -x_i$ $x_{n-(i+1)}=\frac{-x_{i}-2}{1-2x_{i}}$ $=-\frac{x_{i}+2}{1-2x_{i}}$ $=-x_{i+1}$ ซึ่งเป็นจริง ได้แล้วว่า $x_{n-k} = -x_k$ ถ้า $n$ เป็นคู่ ให้ $n=2m$ , $k=m+1$ ได้ว่า $x_{m-1} = -x_{m+1}$ $\frac{x_{m}-2}{1+2x_{m}}\ = -\frac {2 + x_{m}}{1 - 2x_{m}}$ จัดการย้ายข้าง ตัด รวมพจน์ต่างๆได้ว่า $x_{m}=0$ แต่ว่าจากตอนแรกสุดเรากำหนดว่า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $x_n = 0$ และ $m=$ $\frac{n}{2}$ $< n$ เกิดข้อขัดแย้งขึ้น ถ้า $n$ เป็นคี่ ให้ $n=2m+1$ , $k=m+1$ $x_{m} = -x_{m+1}$ ให้ $n=2m+1$ , $k=m+2$ $x_{m-1} = -x_{m+2}$ $\frac{x_{m}-2}{1+2x_{m}}\ = -\frac {2 + x_{m+1}}{1 - 2x_{m+1}}$ $\frac{x_{m}-2}{1+2x_{m}}\ = -\frac {2 + x_{m}}{1 - 2x_{m}}$ สังเกตว่าเป็นสมการเดียวกันกับตอนที่ n เป็นคู่ $x_{m}=0$ แต่ว่าจากตอนแรกสุดเรากำหนดว่า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $x_n = 0$ และ $m=$ $\frac{n-1}{2}$ $ < n$ เกิดข้อขัดแย้งขึ้น ดังนั้น $x_n\not= 0$ ทุก $n∈\mathbb{N}$ b)สมมติว่า ${x_n},{n≥ 1}$ เป็น periodic ดังนั้นมี $k$ ที่ทำให้ $x_{k}=x_{0}=2$ จาก $x_{n}=\frac{x_{n+1}-2}{1+2x_{n+1}}$ ดังนั้น $x_{k-1}=\frac{x_{k}-2}{1+2x_{k}}$ $x_{k-1}=0$ แต่จากข้อ a) เกิดข้อขัดแย้งขึ้น ดังนั้น ${x_n},{n≥ 1}$ ไม่เป็น periodic 27 เมษายน 2008 08:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ owlpenguin เหตุผล: พิมพ์ LaTeX ผิด |
|
|