ข้อสอบ take home ช่วยหนูด้วยนะค่ะไม่อยากติดF

[moowan]

จงพิสูจน์ว่า $log_102$ เป็นจำนวนอตรรกยะ(จงพิสูจน์ว่า logสองฐานสิบเป็นจำนวนอตรรกยะ ด่วนนะค่ะ)

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ moowan

จงพิสูจน์ว่า $log_102$ เป็นจำนวนอตรรกยะ(จงพิสูจน์ว่า logสองฐานสิบเป็นจำนวนอตรรกยะ ด่วนนะค่ะ)

สมมติให้ $\log 2=\frac{a}{b}$ เมื่อ $a, b\in I^{+}$ แล้วหาข้อขัดแย้งครับ

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

สมมติให้ $\log 2=\frac{a}{b}$ เมื่อ $a, b\in I^{+}$ แล้วหาข้อขัดแย้งครับ

สมมติให้ $\log 2=\frac{a}{b}$ เมื่อ $a, b\in I^{+}$
$2=10^{\frac{a}{b}}$
$2=\sqrt[b]{10^a}$
$2^b=10^a$
$2^b=(2^a)(5^a)$
$2^{b-a}=5^a$
แต่ $2^x$ จะลงท้ายด้วยเลขคู่ (ในกรณีที่ $b$ มากกว่า$a$)หรือ $1$(ในกรณีที่ $a=b$) หรือ $\frac{1}{เลขคู่}$(ในกรณีที่ $b$ น้อยกว่า$a$) ส่วน$5^y$ จะลงท้ายด้วย $5$ เสมอ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $x$ และสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก$y$
เกิดข้อขัดแย้ง
$\therefore \log 2$ ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ