Warm Up !

[passer-by]

KEY/OUTLINE of Some Problems

1. Take แกน XY เข้าไป โดยให้ D อยู่ที่จุดกำเนิด แล้วพิสูจน์ให้ได้ว่า $ slope_{DF}= - slope_{DE} $

6. เพราะ $ S_n = \lceil (\sqrt{3}+1)^{2n} \rceil = (\sqrt{3}+1)^{2n} +(\sqrt{3}-1)^{2n} $

และสามารถเขียนเป็น recurrence relation

$ \begin{array}{rcl} S_1 &=& 8 \\ S_2 &=& 56 \\ S_n &=& 8 S_{n-1}-4S_{n-2} \quad (n\geq 3) \end{array} $

จากนั้นก็ induction ครับ

7. Logic ในการ สร้างฟังก์ชัน เป็นอย่างนี้ครับ

$ 1 \longmapsto 1 $
จากนั้น...
$ \begin{array}{rcl}2 &\longmapsto & 3 \\ 3 & \longmapsto & 2^2 \\ 2^2 & \longmapsto & 3^2 \\ 3^2 & \longmapsto & (2^2)^2\cdots \end{array} $
จากนั้นก็ map 5 ไปหา 6 และวน loop แบบด้านบนครับ

ส่วนตัวฟังก์ชันแบบทางการ หน้าตาเป็นอย่างนี้ครับ

ให้ A แทนเซตที่บรรจุ squares ทั้งหมดเอาไว้

ดังนั้น $ N-A = \{ 2,3,5,6,7,8,10, \cdots \}= \{ n_1 , n_2,\cdots \} $

$ f(n)= \left \{\begin{array}{ll} 1 & n=1 \\ n_{2i} & n=n_{2i-1}
\\ n^2_{2i-1} & n=n_{2i} \\ n^{2^k}_{2i} & n=n^{2^k}_{2i-1} \\ n^{2^{k+1}}_{2i-1} & n=n^{2^k}_{2i} \end{array}\right. $

ถ้าว่างๆ จะมาเพิ่มเฉลยข้ออื่นๆให้ครับ

[warut]

ฟังก์ชันตัวอย่างของผมสำหรับข้อ 7. คืออันเดียวกับเฉลยของคุณ passer-by ครับ แต่ของผมนิยามดังนี้

สำหรับจำนวนเต็มบวก $n>1$ เขียน $n$ ในรูป $n= k^{2^m}$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ และ $m\ge 0$ เป็นจำนวนเต็ม แล้วผมกำหนดให้ $f(n)$ มีค่าดังนี้ $$ f(n)= \cases{ 1 & \text{if } \, n=1 \\ (k+1)^{2^m} & \text{if } \, \lfloor k+\sqrt k \rfloor \text{ is odd} \\ (k-1)^{2^{m+1}} & \text{if } \, \lfloor k+\sqrt k \rfloor \text{ is even} } $$ ซึ่งผมคิดว่านิยามแบบนี้จะทำให้การหาค่าของฟังก์ชัน efficiently computable โดยใช้ memory น้อยมากๆครับ

[passer-by]

(Continue)
4. เพราะ $ x^4-8x^2 \in Q $ ดังนั้น $ x^4-8x^2+16= (x^2-4)^2 =a^2 \in Q $

CASE 1: ถ้า $ a \in Q $ แล้ว $ x^3-6x = x(a-2) \in Q $
แต่ x เป็นอตรรกยะ ดังนั้น $ a-2=0 $ หรือเท่ากับว่า $ x=\pm\sqrt{6} $

CASE 2: ถ้า $ a \notin Q $ พิจารณา $ (x^3-6x^2)^2 = a(a^2-12)+16 \in Q $
ดังนั้น $ a^2-12=0 $ หรือเท่ากับว่า $ x^2= 4\pm 2\sqrt{3} $

5. ให้ $ R_1, R_2 \dots R_k $ แทนสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่มีจุดยอดเป็นจุดเดียวกับ polygon และบรรจุ P ดังนั้น สี่เหลี่ยมรูปที่ i จะ บรรจุสามเหลี่ยม 2 รูปที่มี P ข้างใน สมมติเป็น $ T _{i1} ,T_{i2} \quad \forall i =1,2, \dots k $

ในขณะเดียวกัน เราสามารถนับสามเหลี่ยม T ทั้ง 2k รูป ด้วยการยึดตัวสามเหลี่ยมเป็นหลัก กล่าวคือ
ถ้ากำหนด m= จำนวนสามเหลี่ยมที่บรรจุ P
(Note : m กับ 2k เป็นคนละตัวกันนะครับ เพราะอย่าลืมว่า ในสามเหลี่ยม 2k รูปนี้ อาจมีบางรูปเหมือนกัน)
เพราะสามเหลี่ยมดังกล่าว 1 รูป จะบรรจุในสี่เหลี่ยม n-3 รูป
ดังนั้น (m)(n-3)= 2k แต่ n เป็นเลขคู่ ดังนั้น m เป็นเลขคู่

ส่วนข้อ 2 ใช้ AM-GM และเรื่องอัตราส่วนของพื้นที่มาช่วย
ข้อ 3 แบ่ง p เป็น 2 กรณี คือ p= 2 , p > 2

[passer-by]

รีบ post ให้ก่อนที่ผมจะลืม

เอาไว้อุ่นเครื่องก่อน สสวท รอบ 2 แล้วกันครับ โดยจะขอ post part 1 ก่อน แล้ว part 2 จะตามมาใกล้ๆ 20 สิงหาครับ

WARM-UP (PART 1 : 2008) (Selected from many sources)

1. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับเป็นจำนวนอนันต์ที่ ไม่สามารถเขียนได้ในรูป $ n^2+p$ เมื่อ n เป็นจำนวนนับและ p เป็นจำนวนเฉพาะ

2. I เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC วงกลมดังกล่าวสัมผัส BC,CA,AB ที่ D,E,F ตามลำดับ ถ้า AD ตัดวงกลมที่ P และ M เป็นจุดกึ่งกลาง EF พิสูจน์ว่า ถ้า P,M,I,D ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกันแล้ว P,M,I,D เป็น cyclic

3. U เป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก 29 จำนวน $ S_1, S_2 ,\cdots S_{10} \subset U $ (เหมือนกันได้) ถ้าทุก 5 subsets ที่เลือกขึ้นมาจาก 10 subsets ดังกล่าว บรรจุ 29 จำนวนครบ พิสูจน์ว่ามี 3 subsets (จาก 10 subsets) ที่บรรจุ 29 จำนวนครบเช่นกัน

4. ถ้า $ a_1 ,a_2,a_3 \cdots a_n $ เป็นจำนวนเต็มที่ต่างกันหมด พิสูจน์ว่าพหุนาม $ (x-a_1)^2(x-a_2)^2 \cdots (x-a_n)^2 +1 $ ไม่สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของ 2 nonconstant polynomials ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

5. วงกลม 2 วงสัมผัสภายในที่ T คอร์ด AB ของวงกลมใหญ่สัมผัสวงกลมเล็กที่ P เส้นแบ่งครึ่งมุม A,B ของสามเหลี่ยม TAB ตัดกันที่ I พิสูจน์ว่า T, I, P อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

6. กำหนดจำนวนจริง $ a_1 ,a_2 , \cdots a_{2008}$ โดย $$ \sum_{k=1}^{2008} k^r a_k = 0 \,\,\, \forall r \in \{1,2,\cdots 2007\} $$ และ $$ \sum_{k=1}^{2008} k^{2008} a_k = 1$$ หาค่า $ a_1$

7. กำหนด $ S_n$ แทนจำนวนวิธีเขียน n ในรูปผลคูณ 2 จำนวนนับที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน พิสูจน์ว่า ทุกจำนวนนับ $ n\geq 2 $ จะมีจำนวนนับ $ a_1, a_2 , \cdots a_n$ เรียงกัน ซึ่ง $ S_{(a_1)!} = S_{(a_2)!} = \cdots =S_{(a_n)!} $

8. (i) ยกตัวอย่างฟังก์ชัน 1-1 ทั่วถึง จาก (0,1) ไปยังเซตของจำนวนจริง
(ii) ยกตัวอย่างฟังก์ชัน 1-1 ทั่วถึง จาก [0,1) ไปยัง (0,1)

9. ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่สามารถสร้างวงกลมแนบใน และตัวมันเองก็เป็น cyclic ด้วย ถ้า $r$ แทนรัศมีวงกลมแนบในและ $ R$ แทนรัศมีวงกลมล้อมรอบ ABCD พิสูจน์ว่า $ R \geq \sqrt{2}r$

10. สี่เหลี่ยมผืนผ้า มีด้านกว้างและยาวเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เกิน 2550 หน่วย ถ้าเลือกสื่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้มา 2551 รูป พิสูจน์ว่ามี
สี่เหลียมผืนผ้า 3 รูปต่างกัน สมมติเป็น A,B,C โดย A บรรจุใน B และ B บรรจุใน C ได้พอดี

11. สามเหลี่ยม ABC มี มุม B,C กาง 60 และ 70 องศา กำหนด P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม(ที่ fix ไว้) โดยมี D, E เป็นจุดบน AB, AC ซึ่ง BD=CE และทำให้ PD+PE มีค่าน้อยสุด ถ้า P,D,E ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หาขนาดมุม DPE

12. ให้ $a,b,u,v$ เป็นจำนวนจริง โดย $ av-bu =1 $ พิสูจน์ว่า $ a^2+b^2+u^2+v^2+au+bv \geq \sqrt{3} $

13. พิสูจน์ว่า ผลคูณของจำนวนนับ 3 จำนวนเรียงกัน ไม่สามารถเขียนเป็น perfect power ได้ (กล่าวคือ กำลังสองสมบูรณ์ , กำลังสามของจำนวนเต็ม ฯลฯ )

14. สามเหลี่ยม ABC มี $ BC^2=4F\cot A $ เมื่อ F แทนพื้นที่สามเหลี่ยม ABC ถ้า G แทนจุดตัดเส้นมัธยฐานและ O แทนจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC หาขนาดมุม OGA

15. ถ้า $ a_1 =1 , b_1=2 $ และ $ a_{n+1} = \frac{1+a_n+a_nb_n}{b_n}$ ,$ b_{n+1} = \frac{1+b_n+a_nb_n}{a_n}$ พิสูจน์ว่า $ a_{2008} < 5 $
--------------------------------------------------------------------------------------

p.s. ถ้าต้องการ Hint ข้อไหนก็บอกได้นะครับ แต่เผลอๆอาจจะไม่ต้อง Hint เพราะ น้องๆเดี๋ยวนี้ ขั้นเทพกันหลายคน

[dektep]

1.

solution

จำนวนนับที่อยู่ในรูป $k^2 ,\forall k \in \mathbb{N}$

4.

PEN

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=150957

12.

solution

ให้ $x=a^2+b^2,y=u^2+v^2,z=au+bv$ ดังนั้น $xy=z^2+1$ พิจารณาว่า $(x+y)^2 \geq 4xy = 4z^2+4 \geq (\sqrt{3}-z)^2$ (เพราะว่า $(z\sqrt{3}+1)^2 \geq 0$)
ดังนั้น $x+y \geq \sqrt{3}-z \rightarrow x+y+z \geq \sqrt{3}$

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

1.

solution

จำนวนนับที่อยู่ในรูป $k^2 ,\forall k \in \mathbb{N}$

ผมว่าต้องเพิ่มเงื่อนไข $k-n\not=1$ ด้วยนะครับ เพราะว่า $k+n$ อาจจะเป็นจำนวนเฉพาะก็ได้เมื่อ $k-n=1$ เช่น $n=1,k=2$ จะมี $p=3$ ครับ

[Anonymous314]

ข้อ 9 ขอ hint หน่อยครับ รู้แต่สูตร
ถ้า O และ O' เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบและวงกลมแนบใน จะได้ว่า กำหนดระยะห่าง O กับ O' เป็น $x$
$\frac{1}{r^2}=\frac{1}{(R+x)^2}+\frac{1}{(R-x)^2}$
ถ้าได้สูตรนี้ก็เสร็จ แต่จะพิสูจน์สูตรนี้อย่างไรครับ

[dektep]

7.

solution

$a_1 = (n+1)!+2 , a_2 =(n+1)!+3 , ... , a_n = (n+1)!+(n+1)$

[owlpenguin]

ข้อ 8 นี่เอาเป็น $\displaystyle\tan({x+\frac{1}{2})\pi}$ เมื่อ $x\in (0,1)$ ได้ไหมครับ?

[Art_ninja]

5.

My Solution

วาดรูป เนื่องจาก $I$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABT$ จะได้ว่า $TI$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม $T$ ต่อ $TI$ ทาง $I$ มาตัด $AB$ ที่ $P'$ โดยจะแสดงว่า $P=P'$ โดยกฎของไซน์จะได้ว่า $\frac{BP}{BT}=\frac{AP}{AT}$ พิจารณาที่รูป $TBP'$ ใช้กฎของไซน์จะได้ว่า $\frac{P'I}{IT}=\frac{BP'}{BT}$ และดูที่รูป $TAP'$ ใช้กฎของไซน์จะได้ว่า $\frac{P'I}{IT}=\frac{AP'}{AT}$ ดังนั้น $\frac{BP'}{BT}=\frac{AP'}{AT}$ ซึ่งทำให้ได้ว่า $P=P'$

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

ข้อ 8 นี่เอาเป็น $\displaystyle\tan({x+\frac{1}{2})\pi}$ เมื่อ $x\in (0,1)$ ได้ไหมครับ?

คุณ owlpenguin สุดยอดไปเลยครับ ได้ครับจากนี่

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

ผมว่าต้องเพิ่มเงื่อนไข $k-n\not=1$ ด้วยนะครับ เพราะว่า $k+n$ อาจจะเป็นจำนวนเฉพาะก็ได้เมื่อ $k-n=1$ เช่น $n=1,k=2$ จะมี $p=3$ ครับ

ผมคิดว่าไม่สามารถเพิ่มเงื่อนไขแบบนั้นได้นะครับเพราะว่า k มัน fix แล้วแต่ n มัน run ไปเรื่อยๆได้ยังไงก็ต้องมี n ที่เป็น k-1 ได้อยู่แล้วอะครับซึ่งกรณีที่ k-n=1 บางกรณีอาจทำให้ k+n เป็น prime แต่นั้นมันก็เป็นส่วนน้อยนิคับ

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ผมคิดว่าไม่สามารถเพิ่มเงื่อนไขแบบนั้นได้นะครับเพราะว่า k มัน fix แล้วแต่ n มัน run ไปเรื่อยๆได้ยังไงก็ต้องมี n ที่เป็น k-1 ได้อยู่แล้วอะครับซึ่งกรณีที่ k-n=1 บางกรณีอาจทำให้ k+n เป็น prime แต่นั้นมันก็เป็นส่วนน้อยนิคับ

แต่ว่าคำตอบของคุณ dektep ลงเอาไว้ว่า "จำนวนนับที่อยู่ในรูป $k^2 ,\forall k \in \mathbb{N}$" นะคร้าบ

[RoSe-JoKer]

เออไม่แน่ใจนะครับแต่ถ้าเป็นผมอาจเขียนแบบนี้
ถ้าตอบแบบน้อง dektep อาจจะไม่ได้บางตัวอะครับ
ถ้า $n^2+p=k^2$ สำหรับ k ที่เป็นจำนวนนับใดๆจะเห็นได้ว่า
$(n-k)(n+k)=p$
ดังนั้น $n-p=1$ และ $n+k=p$
แก้สมการได้ว่า
สมการนี้จะเป็นจริงสำหรับ p ใดๆก็ต่อเมื่อ
$k=\frac{p+1}{2}$
$n= \frac{p-1}{2}$
แต่ว่าสำหรับ k ใดๆที่ไม่สามารถเขียนได้ในรูป $k=\frac{p+1}{2}$ สำหรับ p เป็น prime number ย่อมมีเป็นอนันต์ซึ่ง k เหล่านั้นจะไม่สามารถ
เขียนในรูป $n^2+p$ ได้

[passer-by]

คุณ owlpenguin สุดยอดมากครับ ที่หาฟังก์ชันนี้ออกมาได้ในข้อ 8 แต่ยังมีคำตอบอื่นอีกนะครับที่ไม่ใช่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตอบกันรวดเร็วมากๆเช่นนี้ งั้นผมขอเพิ่มข้อ 15 กับ ข้อย่อยของข้อ 8 ให้แล้วกันนะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

ข้อ 9 ขอ hint หน่อยครับ รู้แต่สูตร
ถ้า O และ O' เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบและวงกลมแนบใน จะได้ว่า กำหนดระยะห่าง O กับ O' เป็น $x$
$\frac{1}{r^2}=\frac{1}{(R+x)^2}+\frac{1}{(R-x)^2}$
ถ้าได้สูตรนี้ก็เสร็จ แต่จะพิสูจน์สูตรนี้อย่างไรครับ

สูตรนี้น่าสนใจดีครับ แต่ผมไม่ได้ใช้วิธีนี้ งั้นผมขอ hint วิธีที่ผมใช้แล้วกันครับ

HINT(9)

link R, r เข้าหาพื้นที่สี่เหลี่ยมให้ได้ครับ ซึ่งอาจจะต้องพิสูจน์ lemma 2 อันข้างล่างก่อน
(i) ถ้า O เป็นจุดภายในสี่เหลี่ยม ABCD แล้ว $ OA+OB+OC+OD \geq 2\sqrt{2F} $ เมื่อ F แทนพื้นที่สี่เหลี่ยม
(ii) ถ้า a,b,c,d เป็นด้านของสี่เหลี่ยมที่เรียงต่อกันตามลำดับ แล้ว $ 4F \leq (a+c)(b+d) $