Shortlist TMO2008

[tatari/nightmare]

_ _lll My bad

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

ถ้าใครเข้าค่าย สพฐ และอยากได้ full version มาขอผมได้ครับ

ผมขอ full version ด้วยนะครับ

[Tohn]

เราขอ Full version ด้วยได้ป่าวครับ ^ ^
..ขอบคุณคับ

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

ผมขอ full version ด้วยนะครับ

ผมขอด้วยคนครับ จะได้เอาไว้สอบปีหน้า

[nongtum]

ถ้าไม่เป็นการรบกวน ช่วยพิมพ์หรืออัพโหลดไฟล์ภาพ/เอกสารข้อสอบลงในเวบเลยได้ไหมครับ (ขอด้วยคน )

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

ผมขอด้วยคนครับ จะได้เอาไว้สอบปีหน้า

จะกลับไปอีกเหรอครับ

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

จะกลับไปอีกเหรอครับ

อาจจะครับ ถ้าไม่ติดสสวท.(ล้อเล่นครับ) 555+

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ขอแบบ super full ด้วยครับ

[Nickname]

ขอด้วยคนครับ ขอบคุณครับ

[Tohn]

C3.)$$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}=\frac{1}{n+1}(2^{n+1}-1)$$
$N9.)$*****แก้ไขค้าบ*********
พิจารณาเฉพาะ $m=\frac{2n+1-\sqrt{8n+1}}{2} ....*$
ให้ $8n+1=r^2....**$; โดยที่ $r$ เป็นจำนวนเต็มคี่
สมมติให้ $n=(4k-1)(2k-1)$ แทนใน**
จะได้ $r^2 = 8(8k^2-6k+1)+1=64k^2-48k+9=(8k-3)^2$ ได้ $r = 8k-3 $
จึงให้ $n=(4k-1)(2k-1)$ แทนใน*
จะได้ $m = 8k^2-10k+3 = (4k-3)(2k-1)$
แทน $m,n$ ลงในโจทย์พบว่าเป็นจริง
ดังนั้นคู่อันดับที่สอดคล้องคือ$ (m,n),(n,m)$
โดยที่ $(m,n)=((4k-3)(2k-1),(4k-1)(2k-1))$ และ $k\in N$

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Tohn

$N9.)ให้ m=2p-1,n=2q-1$
$2(p-q)^2=(p+q)-1$
$2((p+q)^2-4pq)=(p+q)-1$
$2(p+q)^2-(p+q)-1=(8pq-2)$
$(2p+2q+1)(p+q-1)=2(4pq-1)$
$2p+2q+1=4pq-1, p+q=3$
$pq-(p+q)+1=2-pq $
$(p-1)(q-1)=(2-pq)$
จะได้$(p,q)=(2,1),(1,2)$
ดังนั้น$(m,n)=(3,1),(1,3)$

บรรทัดที่ mark สีแดงไว้ยังไม่ถูกนะครับ $ p+q-1 $ อาจจะเป็นเลขคู่ที่มากกว่า 2 ก็ได้

คำตอบข้อนี้ มีเยอะกว่าที่ตอบมาครับ ลองคิดดูอีกทีนะ

[RoSe-JoKer]

$N9$ วิธีผมครับ $WLOG$ ให้ $m>n$ ดังนั้น $m=n+2a$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
ก็จะได้ว่า
$m=a(2a+1)$
$n=a(2a-1)$
แต่ $m,n$ เป็นเลขคี่ดังนั้น $a=2b+1 ;b\in N$
ก็ได้ว่า
$m=(2b+1)(4b+3)$
$n=(2b+1)(4b+1)$

[The jumpers]

อะไรของคุณ tatari/blackman น่ะครับ

[warutT]

ขอแบบ full version ด้วยคนครับ

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

ALGEBRA
A1(มหิดล)กำหนด $n\in\mathbb{N}$ จงหาค่าของ
$$\sum_{k = 1}^{n}\left\lceil\frac{(2k+2)!+(2k-1)!}{(2k+1)!+(2k)!}\right\rceil $$

A2(หาดใหญ่)ให้ $P(x)$ เป็นพหุนามที่สอดคล้อง $$(P(x))^2=xP(P(x))+2552^2$$ ทุก $x$
จงหาค่าของ $P(2551)P(-2551)$

A3(หาดใหญ่)$a,b,c>0$,จงพิสูจน์ว่า $$abc+2\leq\sqrt[3]{(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)}$$

A4(สวนกุหลาบ)กำหนดให้ $z_1,z_2,...,z_n$ คือรากที่แตกต่างกันทั้งหมดของสมการ
$$z^{11}+2z^{10}+3z^9+...+5z^7+6z^6+5z^5+...+3z^3+2z^2+z=0$$
จงหาผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของส่วนจินตภาพของ $z_1,z_2,...,z_n$

A5(สอวน)วันแรก ข้ออสมการสามเหลี่ยม

A6(มหิดล) จงหาค่าของ $ax^{13}+by^{13}$ โดยกำหนดว่า
$ax+by=5,ax^3+by^3=11,ax^5+by^5=35,ax^7+by^7=131$

A7(หาดใหญ่)$a,b,c\in\mathbb{R+}$,ที่$a<b\leq c$ และ
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}=\frac{883}{273}$$
จงหาค่าของ $\frac{a+b}{b+c}$

A8(สวนกุหลาบ)จงหาจำนวนของจำนวนนับทั้งหมดที่น้อยกว่า 2551 และ สามารถเขียนได้ในรูป$\left\lceil\,ax\right\rceil $ สำหรับ บาง $x$ เมื่อ $a=\left\lceil\,x\right\rceil$

A9(วลัยลักษณ์)วันแรก ข้อ floor function

A10(สอวน) วันแรก ข้อที่เป็น FE

A11(ศิลปากร)$a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{cyc} \frac{ab}{a^3+b^3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$

A12(สอวน) วันแรก ข้อพหุนามดีกรี 2008

A13(สวนกุหลาบ) ให้ $S=\sum_{k=n+1}^{3n+1} \frac{1}{k}$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{29}{27}< S<\frac{7}{6}$

A14(ขอนแก่น)$a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $$\sum_{cyc} \frac{a}{2b+3c}\geq\frac{3}{5}$$

A15 เป็นข้อสอบ AL ค่าย2ของ สอวน ปี 2551 ข้อสุดท้าย

A16(สวนกุหลาบ)ให้ $r_1,r_2,r_3$ เป็นรากของ $f(x)=x^3+111x^2+1$ และ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลัง 3
ซึ่ง $P(r_i+r_i^{-1})=0,i=1,2,3$ จงหาค่าของ $\frac{P(1)}{P(-1)}$

A17(วลัยลักษณ์)วันที่2 ข้อ 3

A18(วลัยลักษณ์)$a,b,c,d>0$ จงหาค่าสูงสุดของ
$$S=\dfrac{(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}$$

A19(สอวน.) วันที่2 ข้อ 6
TO BE CONTINUED........FIN

ขอปลุกหน่อยนะครับ คือขอทราบที่มาของโจทย์ด้วยครับ (ขอ full version ด้วยคนครับ)