สมการเชิงฟังก์ชันครับ

[Art_ninja]

ผมลองทำโจทย์ข้อนี้ดูครับ แต่ก็ไม่เข้าใจซักที รบกวนพี่ๆ ที่ทราบได้โปรดมาอธิบายด้วยครับ
IMO 1996/3
กำหนดให้ $f:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{N}_0$ จงหาฟังก์ชันทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ
$$f(m+ f(n)) = f(f(m)) + f(n), \forall m,n \in \mathbb{N}_0$$

[Art_ninja]

และนี่คือ solution ของมันครับ
ผมอยากทราบว่า fixed point คืออะไรครับ และก็มีประโยชน์อย่างไร เพราะผมเห็นโจทย์หลายข้อทำแบบนี้น่ะครับ

[Art_ninja]

แต่วิธีของผมเป็นอีกแบบนึงครับ

My Solution

แทนค่า $m=n=0$ ลงไป เราจะได้ว่า $f(0)=0$ และถ้าแทนค่า $m=0$ จะได้ว่า $f(f(n))=f(n)$
ดังนั้นสมการของเรากลายเป็น
$f(m+f(n))=f(m)+f(f(n)), \forall m,n \in \mathbb{N}_0$
โดยสมการโคชี จะได้ว่า
$f(x)=0$ และ $f(x)=x$ ครับ

[owlpenguin]

fixed point นั้นนิยามไว้ว่า:
$a$ จะเป็น fixed point ของ $f(x)$ ก็ต่อเมื่อ $f(a)=a$

วิธีของคุณ Art_ninja มีข้อผิดพลาดตรงที่ได้ $f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))$ แล้วใช้สมการโคชีอ้างครับ
สมการโคชีกล่าวว่าสำหรับ $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ และ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ทุก $x,y\in\mathbb{Q}$ จะได้ $f(x)=cx;c\in\mathbb{Q},x\in\mathbb{Q}$
และขอเน้นย้ำว่า $x,y$ ต้องเป็นจำนวนตรรกยะใดๆ (หรือตาม domain ของ function นั้นๆ)

คุณ Art_ninja จะต้องแสดงก่อนว่า $f(n)$ นั้นเป็นจำนวนเต็มบวกรวม $0$ ใดๆก็ได้ (นั่นก็คือ $f$ เป็นฟังก์ชัน onto ครับ)

[Art_ninja]

ขอบคุณครับ เข้าใจมากขึ้นเยอะิเลย

p.s.รบกวนคุณ owlpenguin พิสูจน์ว่าฟังก์ชันนี้ onto ด้วยได้ไหมครับ

[square1zoa]

ไม่เข้าใจตรงที่ ตรงที่ใช้สมการโคชี กับ สมการในโจทย์ คือคิดว่า เซตของตรรกยะนั้นใหญ่กว่าจำนวนนับ+0 ยังไงก็ช่วยแนะด้วยครับ

[owlpenguin]

คือจริงๆแล้ว จะเป็น $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ , $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ หรือ $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ ก็ได้ครับ หรือว่า $f:\mathbb{N}_0\rightarrow\mathbb{N}_0$ ก็ยังใช้สมการโคชีอ้างได้ครับ

แต่ถ้าเป็น $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $f$ นั้นจะต้องมีคุณสมบัติืเพิ่มอย่างใดอย่างหนึ่งใน 3 อันนี้ครับ
1.ต่อเนี่อง
2.เป็นฟังก์ชันทางเดียว
3.มีขอบเขต

ส่วนเรื่องจะให้พิสูจน์ว่า f ข้อนี้ onto นี่... จะลองคิดดูครับ แต่ว่าอาจจะคิดไม่ออกนะครับ ถ้าใครทำได้ก็ช่วยโพสต์นะครับ

[square1zoa]

ก็แสดงว่า คุณ art_ninga ก็น่าจะถูกนะครับ

[owlpenguin]

คือว่าสมการโคชีนั้นจะใช้อ้างได้ก็ต่อเมื่อ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ โดยที่ $x,y$ เป็นสมาชิกใดๆใน domain ของ $f$
แต่ว่าในกรณีนี้ มันเป็น $f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))$
ให้ $f(n)=a$
$\therefore f(m+a)=f(m)+f(a)$ ซึ่งจริงๆแล้วสอดคล้องกับสมการโคชี
แต่ว่าถ้า $f$ ไม่เป็น onto function จะได้ว่ามันต้องมีตัวเลขตัวหนึ่งที่ไม่สามารถเท่ากับ $a=f(n)$ ได้ แต่ก็ยังอยู่ใน domain ของ $f$ จึงได้ว่า a จะไม่เป็นตัวแปรที่สมบูรณ์ (ก็คือ a ไม่สามารถเป็นทุกค่าได้ใน domain ของ $f$ ถ้า $f$ ไม่ onto)

ถ้าพูดแล้วงงๆ ก็ขออภัยมาละกันครับ

[square1zoa]

แหะๆๆๆ ลืมคิดไปว่า $f$ ไม่ onto ก็ได้

[Onasdi]

ใช่แล้วครับ ดูจากเฉลยแล้ว มีฟังก์ชั่นที่ไม่ onto แต่สอดคล้องเงื่อนไขครับ