ช่วยด้วยครับ

[Anonymous314]

จงหาว่ามี $a,b,c,d,e \in \mathbb{N} $ หรือไม่ที่ $a^4+b^4+c^4+d^4+e^4=3333^{3333}$

[Art_ninja]

โดยการเช็คกับ modulo $3$ เราจะได้ว่า ทั้งห้าตัวจะต้องหารด้วย $3$ ลงตัว(อีกกรณีนึงคือ เป็นเศษตกค้าง $1$ จำนวน $3$ ตัว และหารด้วย $3$ ลงตัว $2$ จำนวน สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่าไม่มีจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องเงื่อนไขนี้)ดังนั้นสมมติว่าทั้ง $5$ ตัวคือ $3^{a_i}b_i$ เมื่อ $(3,b_i)=1$ สำหรับทุก $i=1,2,3,4,5$ จึงได้สมการ$\sum_{i=1}^5 3^{a_i}b_i=3333^{3333}$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $a_5$ มีค่าน้อยที่สุด จึงได้ว่า $3^{a_5}(\sum_{i=1}^{5}3^{a_i-a_5}b_i)=3333^{3333}$ แต่เนื่องจากห.ร.ม. ของ $\sum_{i=1}^{5}3^{a_i-a_5}b_i$ กับ $3$ คือ $1$ ดังนั้นเราจะได้ทันทีว่า $a_5=3333$ แต่เนื่องจากทุกพจน์เป็นกำลัง $4$ สมบูรณ์ จึงได้ว่าค่า $a_5$ ที่น้อยที่สุดคือ $3336$ ซึ่งไม่ทำให้สมการเป็นจริง ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนเต็มบวกใดๆที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

อีกกรณีนึงคือ เป็นเศษตกค้าง $1$ จำนวน $3$ ตัว และหารด้วย $3$ ลงตัว $2$ จำนวน สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่าไม่มีจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องเงื่อนไขนี้

ตรงนี้พิสูจน์ยังไงครับ

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

ตรงนี้พิสูจน์ยังไงครับ

สมมติให้เป็น $(3a\pm 1)^4+(3b\pm 1)^4+(3c\pm 1)^4+(3d)^4+(3e)^4=3333^{3333}$
เราจะได้ว่า $(3a\pm 1)^4+(3b\pm 1)^4+(3c\pm 1)^4=3333^{3333}-81(d^4+e^4)$
พอจัดรูปจะได้ว่าฝั่งซ้าย $81$ หารไม่ลงตัว แต่ฝั่งขวา $81$ หารลงตัว

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

สมมติให้เป็น $(3a\pm 1)^4+(3b\pm 1)^4+(3c\pm 1)^4+(3d)^4+(3e)^4=3333^{3333}$
เราจะได้ว่า $(3a\pm 1)^4+(3b\pm 1)^4+(3c\pm 1)^4=3333^{3333}-81(d^4+e^4)$
พอจัดรูปจะได้ว่าฝั่งซ้าย $81$ หารไม่ลงตัว แต่ฝั่งขวา $81$ หารลงตัว

ฝั่งซ้ายไม่จำเป็นครับ เช่น $81|34^4 + 1^4 + 80^4$ อะครับ
ปล. $x^4 \equiv 0,1,4,7,...,79 (mod 81)$

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

ฝั่งซ้ายไม่จำเป็นครับ เช่น $81|34^4 + 1^4 + 80^4$ อะครับ
ปล. $x^4 \equiv 0,1,4,7,...,79 (mod 81)$

ขออภัยด้วยครับ เพราะผมไม่ได้ระวังว่ามันอาจไม่จริงก็ได้ เดี๋ยวไปคิดใหม่ครับ

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

ขออภัยด้วยครับ เพราะผมไม่ได้ระวังว่ามันอาจไม่จริงก็ได้ เดี๋ยวไปคิดใหม่ครับ

ขอรับครับผม

[square1zoa]

เหอๆๆๆ ยากพอควร เพราะคาดว่า ไม่มีผลเฉลย ไอ้เราก็ลองมาแล้วหลาย $mod (2,3,5,7,9,11,13,16)$ แต่ก็ยังไม่ออก

ความจริง ผมลอง $mod16$ ครั้งแรก! เนื่องจากเจอโจทย์ที่คล้ายๆกัน แต่บวกกัน$14$ตัว

[Anonymous314]

ผมก็ว่าอย่างนั้นครับ เพื่อนผมเขาเอามาให้ผมช่วยคิดอ่าครับ ผมเองก็คิดไม่ออก