ช่วยแก้โจทย์หน่อยครับ

[จิรสิน]

จงหาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ทำให้ (6^n)-1 หาร (7^n)-1 ลงตัว

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จิรสิน

จงหาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ทำให้ $(6^n)-1\mid (7^n)-1$

solution

ถ้า $(6^n)-1\mid (7^n)-1$ เนื่องจาก $6^n-1\mid 6^n-1$
จึงได้ $6^n-1\mid 7^n-6^n......(*)$
แต่ว่าเราสามารถพิสูจน์(โดย induction)ได้ไม่ยากว่า $7^n-6^n<6^n-1$ ทุกจำนวนนับ $n$ ซึ่งขัดแย้งกับข้อความ $(*)$ จึงไม่มีจำนวนนับใดสอดคล้อง(มั้ง)

Poon.

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

ถ้า $(6^n)-1\mid (7^n)-1$ เนื่องจาก $6^n-1\mid 6^n-1$
จึงได้ $6^n-1\mid 7^n-6^n......(*)$
แต่ว่าเราสามารถพิสูจน์(โดย induction)ได้ไม่ยากว่า $7^n-6^n<6^n-1$ ทุกจำนวนนับ $n$ ซึ่งขัดแย้งกับข้อความ $(*)$ จึงไม่มีจำนวนนับใดสอดคล้อง(มั้ง)
Poon.

จากตรงนี้จะได้ว่า $7^n-6^n=0$ เท่านั้นครับ
ดังนั้นค่า $n$ ที่เป็นไปได้คือ $0$ แต่ค่า $n=0$ ทำให้โจทย์ไม่จริง จึงไม่มีจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องครับ

[Juniors]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

จากตรงนี้จะได้ว่า $7^n-6^n=0$ เท่านั้นครับ
ดังนั้นค่า $n$ ที่เป็นไปได้คือ $1$ แต่ค่า $n=1$ ทำให้โจทย์ไม่จริง จึงไม่มีจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องครับ

$7^n-6^n=0$ ก็ต่อเมื่อ $n=0$ นะครับ
ต้องแก้จากแทน $n=1$ ต้องเขียนว่าแทน $n=0$ ครับผม

[CH!nn@MonZaN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

แต่ว่าเราสามารถพิสูจน์(โดย induction)ได้ไม่ยากว่า $7^n-6^n<6^n-1$ ทุกจำนวนนับ $n$
Poon.

รู็สึกว่าบรรทัดนี้คุณ tatari/nightmare จะอ้างผิดนะครับ ส่วนคุณ Art_ninja ก็เออออตามว่าจริงอีกนะครับ
เพราะว่าึู $7^5-2*6^5=1255>-1$ และ $7^n-2*6^n$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มนะครับ ได้ว่า
$7^n-2*6^n>-1$ ทุก n $\geqslant$ 5 ครับ

[CH!nn@MonZaN]

Solution ควรจะเป็นแบบนี้ครับ
สมมติให้มี n เป็นคำตอบ
จาก $n$ เป็นจำนวนนับ ได้ว่า $5\left.\,\right| 6^n -1$ จากโจทย์จะได้ว่า $5\left.\,\right| 7^n -1$ ด้วย
ซึ่ง จาก $5\left.\,\right| 7^n -1$ ได้ว่า $n \equiv 0 (mod4)$ ดังนั้น $7\left.\,\right| 6^n -1$
ทำให้ึ $7\left.\,\right| 7^n -1$
ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบที่สอดคล้องกับสมการครับ