|
|
#1
11 สิงหาคม 2008, 20:35
|
||||
|
||||
อสมการเรขา
ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม จงแสดงว่า $$\tan A + \tan B + \tan C \geq \frac{s}{r}$$ เมื่อ $s$ และ $r$ คือครึ่งหนึ่งของความยาวเส้นรอบรูป และรัศมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 
|
|
#2
12 สิงหาคม 2008, 20:39
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ปล.ไปก็อบโจทย์มาจากไหนหรือเปล่า? 12 สิงหาคม 2008 20:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anonymous314
|
|
#3
13 สิงหาคม 2008, 18:59
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
 โจทย์มาจาก Mathematical Reflection ครับแล้วคุณ Anonymous314 คิดออกยังครับ??
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 13 สิงหาคม 2008 19:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja
|
|
#5
14 สิงหาคม 2008, 18:13
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
 เก่งครับเก่ง สุดยอดเลยครับ  
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
|
#6
14 สิงหาคม 2008, 18:14
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ว่าแต่คุณ dektep ช่วย post hint ให้คนโง่ๆอย่างผมทีครับ
|
|
#7
14 สิงหาคม 2008, 20:03
|
||||
|
||||
|
ผมว่าคุณ owlpenguin ฟิตสุดแล้วครับ ใช่ไหมครับ???
โดยให้วงกลมแนบใน $ABC$ สัมผัส $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ ให้ $AF=AE=x,BF=BD=y,CD=CE=z$ จะได้ $tan \frac{A}{2} = \frac{r}{x}$ ได้ว่า $LHS = \frac{8r^3xyz}{(x^2-r^2)(y^2-r^2)(z^2-r^2)}$ $RHS = \frac{x+y+z}{r}$ แล้วย้าย $xyz$ ไปข้างขวาแล้วใช้ $r= \sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}}$ จะได้ว่า $\frac{x+y+z}{xyz} = \frac{1}{r^2}$ เหลือว่าจะต้องพิสูจน์ $8r^6 \geq (x^2-r^2)(y^2-r^2)(z^2-r^2)$... 14 สิงหาคม 2008 20:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ dektep
|
|
#8
15 สิงหาคม 2008, 21:49
|
||||
|
||||
|
ผมเองก็เพิ่งรู้ว่ามีเอกลักษณ์ตรีโกณแบบนี้ด้วย
 ในสามเหลี่ยม $ABC$ เราได้ว่า $\sum_{cyc}\frac{a^2}{tanA}=4S$ โดยที่ S เป็นพื้นที่สามเหลี่ยม ABC จาก CS เราได้ว่า $(\sum_{cyc}tanA)(\sum_{cyc}\frac{a^2}{tanA})=4S(\sum_{cyc}tanA)\geq(a+b+c)^2$ นั้นคือ $(\sum_{cyc}tanA)\geq \frac{(a+b+c)^2}{4S}=\frac{s}{r}$ Credit: skylover
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity 15 สิงหาคม 2008 21:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RoSe-JoKer
|
|
#9
16 สิงหาคม 2008, 14:32
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ว่าแต่คุณ RoSe-JoKer ได้มาจากไหนเหรอครับ? ML?ขอลอง proof ดูนะครับ $\displaystyle LHS=\sum(\frac{a}{\sin{A}})(a\cos{A})=2R\frac{\sum_{cyc}a^2(b^2+c^2-a^2)}{2abc}$ $\displaystyle =\frac{R}{abc}16s(s-a)(s-b)(s-c)$ $\displaystyle =\frac{\frac{a}{2\sin{A}}}{abc}16S^2$ $\displaystyle =\frac{1}{2bc\sin{A}}\frac{bc\sin{A}}{2}16S$ $=4S$  เทพจิงๆครับ คนที่พบเอกลักษณ์นี้
|
|
#10
16 สิงหาคม 2008, 20:57
|
||||
|
||||
|
จาก ML ครับข้อนี้
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=220899
|
  |
|
|
