ช่วยหน่อยครับ

[Art_ninja]

จงหาพหุนาม $F(x)$ ทั้งหมดซึ่ง $F(0)=2$ และ $F(x^2+1)=(F(x))^2+1$ สำหรับทุก $x$

[Anonymous314]

นี่โจทย์ของอะไรอะครับ คุ้น ๆ นะครับ
คือความหมายโจทย์ข้อนี้ถ้าหาได้สักฟังก์ชันหนึ่งก็สามารถพิสูจนฺ์ได้แล้วว่าไม่มีอันอื่นอีกครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

จงหาพหุนาม $F(x)$ ทั้งหมดซึ่ง $F(0)=2$ และ $F(x^2+1)=(F(x))^2+1$ สำหรับทุก $x$

$F(0)=2$ และ $F(x^2+1)$ = $(F(x))^2+1$
ที่ x = 0 ได้ $F(0^2+1)$ = $(F(0))^2+1$ = $(2)^2+1$ ---> $F(1)$ = $5$
ที่ x = 1 ได้ $F(1^2+1)$ = $(F(1))^2+1$ = $(5)^2+1$ ---> $F(2)$ = $26$
ที่ x = 2 ได้ $F(2^2+1)$ = $(F(2))^2+1$ = $(26)^2+1$ ---> $F(5)$ = $676$

จากกรณีที่ x = 1 เราพบว่า $26$ = $(5)^2+1$, ดังนั้นเราจะได้ว่า $F(5)$ = $((5)^2+1)^2+1$

ลองแทนค่า x = 5 ได้ $F(5^2+1)$ = $(F(5))^2+1$ = $(676)^2+1$ ---> $F(26)$ = $(676)^2+1$
แต่ $676$ = $(26)^2+1$ ดังนั้นเราจะได้ว่า $F(26)$ = $((26)^2+1)^2+1$

เราจึงได้รูป $F(x)$ = $(x^2+1)^2+1$ และลองแทนค่าx = 0 ลงในสมการ จะได้ $F(0)=2$ (จริง),

สรุปได้ว่าพหุนาม $F(x)$ = $(x^2+1)^2+1$ ที่ได้จะเป็นจริงทุกกรณีตามเงื่อนไขที่โจทย์ให้มาครับ...

[Ai-Ko]

สวัสดีเจ้าค่ะ...

ก่อนอื่นขอบคุณความเห็นของคุณ Puriwatt ก่อนนะเจ้าคะ ทางนี้จะลองพิสูจน์ว่า $F(x) = (x^2+1)^2+1$ เป็นคำตอบเดียวที่เป็นไปได้เจ้าค่ะ

เราให้ $G(x) = F(x) - ((x^2+1)^2+1)$
ดังนั้น $F(x) = G(x) + ((x^2+1)^2+1)$
เราจึงได้ว่า $F(x^2+1) = G(x^2+1) + (((x^2+1)^2+1)^2+1)$
อีกด้านเราได้ว่า $(F(x))^2+1 = (G(x))^2+2G(x)[(x^2+1)^2+1] + ((x^2+1)^2+1)^2+1$
เนื่องจาก $F(x^2+1) = (F(x))^2+1$
จัดรูปแล้วจะได้ว่า $G(x^2+1) = G(x)[G(x)+2(x^2+1)^2+2]...(*)$
คราวนี้เราทราบแล้วว่า $G(0) = F(0) - 2 = 0$ เจ้าค่ะ
แทนค่า $x=0$ ลงใน $(*)$ จะได้ว่า $G(1) = 0$
แทนค่า $x=1$ ลงใน $(*)$ จะได้ว่า $G(2) = 0$
แทนค่า $x=2$ ลงใน $(*)$ จะได้ว่า $G(5) = 0$
...
เราสามารถพิสูจน์โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า $G(a_n) = 0$ เสมอทุกๆ $n \in \mathbb{Z}^{+}$ เมื่อ $a_1 = 0, a_n = a_{n-1}^2+1$ เจ้าค่ะ
ดังนั้น $G(x)$ จะเป็นพหุนามที่มีจำนวนรากเกินดีกรี นั่นคือ $G(x)=0$
สรุปก็คือ $F(x) = (x^2+1)^2+1$ นั่นเองเจ้าค่ะ

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ai-Ko

...
เราสามารถพิสูจน์โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า $G(a_n) = 0$ เสมอทุกๆ $n \in \mathbb{Z}^{+}$ เมื่อ $a_1 = 0, a_n = a_{n-1}^2+1$ เจ้าค่ะ
...

คุณ Ai-Ko ช่วยอธิบายขั้นตอนการอุปนัยและอธิบายว่า $a_n = a_{n-1}^2+1$ มายังไงได้ไหมครับ คือให้ $a_n$ เป็น $G(x)$ หรือเปล่าหรือว่ายังไง ผมยังไม่ค่อยเข้าใจจริงๆ ขอบคุณคุณ Ai-Ko มากครับ ผมคิดยังไงก็คิดไม่ออกจริงๆครับข้อนี้ ขอบคุณล่วงหน้าเลยครับ

[Ai-Ko]

สวัสดีเจ้าค่ะ...

จริงๆ ยังไม่แน่ใจว่าคำตอบนี้ถูกรึเปล่านะเจ้าคะ แต่ยังจะอธิบายอีกที เผื่อว่าจะจบได้ซะทีเนอะ... ก่อนอื่น กำหนด $G(x) = F(x) - ((x^2+1)^2+1)$
เราจะพิสูจน์ได้ว่า
$$G(x^2+1)=G(x)[G(x)+2(x^2+1)^2 + 2]...(*)$$
ตรงนี้เรานิยามลำดับ $a_1=0, a_n = a_{n-1}^2+1$ ขึ้นมาเจ้าค่ะ
ก่อนอื่นสังเกตว่า $G(a_1) = G(0) = 0$
ต่อไปสมมติว่า $G(a_n) = 0$ เราจะพิสูจน์ว่า $G(a_n^2+1) = G(a_{n+1}) = 0$ นะเจ้าคะ
เราแทนค่า $x = a_n$ ลงใน $(*)$ จะได้ว่า
$$G(a_n^2+1) = G(a_n)[G(a_n) +2(a_n^2+1)^2+2] = 0$$
เจ้าค่ะ เพราะฉะนั้น $G(a_{n+1}) = 0$ ไปด้วย เป็นอันจบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เจ้าค่ะ

[RoSe-JoKer]

ขอบคุณมากครับคุณ Ai -Ko คิดไม่ถึงเลยนะครับเนี่ยว่ามีวิธีแบบนี้ด้วยขอบคุณมากๆๆครับ