Math Gift

[[SIL]]

มันเป็นโจทย์รวบรวมจาก 2-3 ที่ครับกว่า 80% มาจากกระทู้ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ต้น ,ที่เรียนพิเศษของผม อื่นๆตามที่คิดได้ ความหนานี่ก็ไม่มีเลยครับ มีแค่ 4 หน้าลองเอาไปทำดูครับ ผมใช้เวลาทำนานพอสมควรเลย
$หากท่านใดว่างๆ กรณาเฉลยโจทย์เพื่อเป็นวิยาทานต่อไปด้วยครับ$
http://www.uploadtoday.com/download/?126608&A=614131

[LightLucifer]

ข้อ 1 นะครับ โจทย์คุ้นๆ นะครับ แต่จำไม่ได้ว่ามาจากไหน
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+1=(x^2-11x+29)^2$
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=(x^2-11x+29)^2-1^2$
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=(x^2-11x+30)-(x^2-11x+28)=(x-5)(x-6)(x-7)(x-4)$
จะได้ว่า $a+b+c+d=22$ ครับ
ข้อ 2 คิดมากแล้วเซงครับ ผมช้วิธีแทนค่า x สัก 2-3ตัว แล้วได้ n=1 นะครับ
ข้อ 4 จัดรูปธรรมดา ผมคิดได้ $m=4,-2$ ครับ
ข้อ 6 ได้ 8 ป่าวครับ
ข้อ 8 ผมทำได้ $\frac{1}{4}$
ข้อ 9 ผมคิดแล้วคำตอบไม่สวยเลยครับ ได้ $\frac{716}{49}$
ข้อ 11 ผมได้ $\frac{1}{2}$
ข้อ 12 ผมแทนค่า a,b,c=1 ทำไห้สมการเป็นจริง แลว้จะได้ว่า k=8 ครับ
ข้อ 13 ได้ 113 อ่ะครับ
ข้อ 17 ผมได้ $\frac{28}{3}$
ข้อ 16 ผมคิดว่า 70
ข้อ 18 ผมได้ $\frac{7}{5}$ ครับ
ข้อ 19 ผมได้ 0 อ่ะ
ข้อ 22 ผมได้ 100
ข้อ 37 ได้ 235
ข้อ 38 ได้ 14 อ่ะครับ
ยอมรับโจทย์เขาจริงๆเลยนะ (ผมว่ายากมาก)

[[ BaBy Math ]]

ชุดแรก
ข้อ 7 ตอบ 252
ข้อ 11 ตอบ 1/2
ข้อ 37 ตอบ 235
ชุด 2
ข้อ 34 ตอบ $\frac{\sqrt{2n-1}-1}{2} $
ข้อ 37 ตอบ เศษ 0

[[SIL]]

หน้าแรกรบกวนเทพ ข้อ 7 และ 15 ครับ
หน้า 2-4 อาจจะมีข้อง่ายมาแทรกบ้างต้องขออภัยนะครับ
ข้อ 28 หน้า 2 รบกวน Hint ทีครับ โจทย์ไม่ผิดนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

หน้าแรกรบกวนเทพ ข้อ 7 และ 15 ครับ
หน้า 2-4 อาจจะมีข้อง่ายมาแทรกบ้างต้องขออภัยนะครับ
ข้อ 28 หน้า 2 รบกวน Hint ทีครับ โจทย์ไม่ผิดนะครับ

ข้อ 7. จากโจทย์ จะได้ว่า $2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{2}{4}} \times 2^{\frac{3}{8}} \times ...\times 2^{\frac{10}{1024}}$ หาผลบวกของเลขยกกำลังคงไม่อยากแล้ว เร็วๆนี้ได้แสดงโจทย์ลักษณะนี้ไปแล้ว
ข้อ 15 $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}-1)^2 = a^{\frac{2}{3}}+ b^{\frac{2}{3}}+ 1+2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}-2b^{\frac{1}{3}}=49+20\sqrt[3]{6} $
จะสังเกตเห็นได้ว่า $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}=24$
ถ้ามาถูกทางจะได้ว่า $a=$ 48 , $b=$ 288
ส่วนข้อ 28 ถ้าโจทย์ไม่ผิด คงต้องตรัสรู้เองแล้วว่า pattern ตรงเศษจะเป็นรูปแบบไหนดี

[LightLucifer]

โหคุณ หยินหยางเนี่ย-สุดยอดของสุดยอดเลยจริงๆอ่า
ข้อ 7 ผมได้ 252 อ่ะครับ
ทำเหมือนแนวคิดคุณหยินหยางเลยผมให้
$S=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+...+\frac{10}{1024}$.......(1)
$\frac{S}{2}=\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+...+\frac{10}{2048}$.........(2)
(1)-(2)
$\frac{S}{2}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1024})-\frac{10}{2048}$
$\frac{S}{2}=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{10}}) }{1-\frac{1}{2}}-\frac{10}{2048}$
$\frac{S}{2}=1-\frac{1}{2^10}-\frac{5}{2^{10}}$
$\frac{S}{2}=1-\frac{1}{2^{10}}-\frac{5}{2^{10}}$
$\frac{S}{2}=1-\frac{3}{2^9}$
$S=\frac{2^9-3}{2^{8}}=\frac{a}{b} $
จะได้ว่า $a=2^9-3$ $b=2^8$
$a-b-1=2^9-3-2^8-1=252$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

โหคุณ หยินหยางเนี่ย-สุดยอดของสุดยอดเลยจริงๆอ่า
ข้อ 7 ผมได้ 2 อ่ะครับ
ทำเหมือนแนวคิดคุณหยินหยางเลยผมให้
$S=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+...+\frac{10}{1024}$.......(1)
$\frac{S}{2}=\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+...+\frac{10}{2048}$.........(2)
(1)-(2)
$\frac{S}{2}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1024})$ + $\frac{10}{2048}$
$\frac{S}{2}=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^9}) }{1-\frac{1}{2}}$ + $\frac{10}{2048}$ ตรง $ (1-\frac{1}{2^9})$ ก็ไม่ถูก ที่ถูกต้องเป็น $ (1-\frac{1}{2^{10}})$
$\frac{S}{2}=1-\frac{1}{2^9}+\frac{5}{2^{10}}$
$\frac{S}{2}=1-\frac{2}{2^{10}}+\frac{5}{2^{10}}$
$\frac{S}{2}=1+\frac{3}{2^{10}}$
$S=\frac{2^{10}+3}{2^{10}}=\frac{a}{b} $
จะได้ว่า $a=2^{10}+3$ $b=2^{10}$
$a-b-1=2^{10}+3-2^{10}-1=2$

หลักคิดมาถูกทางแล้ว แต่ตัวเลขไม่ถูกครับ ข้อนี้มีข้อสงสัยว่าโจทย์ควรกำหนดด้วยว่า $\frac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำด้วย ตรงเครื่องหมาย + ต้องเป็น - ถึงจะถูก

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

หลักคิดมาถูกทางแล้ว แต่ตัวเลขไม่ถูกครับ ข้อนี้มีข้อสงสัยว่าโจทย์ควรกำหนดด้วยว่า $\frac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำด้วย ตรงเครื่องหมาย + ต้องเป็น - ถึงจะถูก

ตรงเครื่องผมายผมผิดไปจริงๆครับ ขอโทษด้วย เหอๆ หน้าแตกเลย แต่ว่าตรงผลบวกของอนุกรมอ่ะ เพราะว่าผมดูในนี้อ่ะครับ http://www.mathcenter.net/review/rev...iew15p04.shtml แต่ถ้ามันผิดจริงๆ ก็ช่วยอธิบายหน่อยนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ตรงเครื่องผมายผมผิดไปจริงๆครับ ขอโทษด้วย เหอๆ หน้าแตกเลย แต่ว่าตรงผลบวกของอนุกรมอ่ะ เพราะว่าผมดูในนี้อ่ะครับ http://www.mathcenter.net/review/rev...iew15p04.shtml แต่ถ้ามันผิดจริงๆ ก็ช่วยอธิบายหน่อยนะครับ

ตาม link ที่ว่าก็เหมือนกันนี่ครับ ลองดูข้างล่างนี่ครับ
$\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+ ...+\frac{1}{1024}$
$=\frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ ...+\frac{1}{2^{10}}$
ในที่นี่ $a_1 = \frac{1}{2}, r = \frac{1}{2} , n = 10$ ที่เหลือก็แทนสูตรตามที่ link ให้ดูนั่นแหละครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ตาม link ที่ว่าก็เหมือนกันนี่ครับ ลองดูข้างล่างนี่ครับ
$\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+ ...+\frac{1}{1024}$
$=\frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ ...+\frac{1}{2^{10}}$
ในที่นี่ $a_1 = \frac{1}{2}, r = \frac{1}{2} , n = 10$ ที่เหลือก็แทนสูตรตามที่ link ให้ดูนั่นแหละครับ

จริงด้วยแหะๆๆ เหอ ผมนเนี่ยรั่วอีกแล้ว หน้าแตกเลยผม ขอบคุณคุณหยินหยางมากครับที่ช่วยเตือน

[[SIL]]

ข้อ 15 ผมยังงงอยู่เลยครับว่ามาได้อย่างไรกรุณาอธิบายให้ละเอียดขึ้นสักนิดครับ ขอบคุณมากๆเลยครับ
ข้อ 7 นี่ผมหนักกว่าครับผมได้ติดลบเลย -516 ครับ ($\frac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)

[Art_ninja]

ข้อ 30 ครับ
สังเกตว่าพหุนาม $\frac{ab(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}$ กับพหุนาม $x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca$ เป็นพหุนามเดียวกัน
$\therefore$ คำตอบของสมการ $\frac{ab(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}=0$ จึงเป็นคำตอบเดียวกับสมการ $x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0$ ซึ่งก็คือ $$x=\frac{a+b+c \pm \sqrt{a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca}}{2}$$

[winlose]

ชุด1
2.$x(x+1)(x+2)(x+3)+n=m^2$
$(x^2+3x)(x^2+3x+2)+n=m^2$
ให้ $x^2+3x=A$
$A(A+2)+n=m^2$
$A^2+2A+n=m^2$
$A^2+2A+n$ จะเป็นจำนวนกำลังสองได้นั้น $A^2+2A+n=0$ จะต้องมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว
นั่นคือ $2^2-4n=0$
$\therefore n=1$
______________________________________________________________________
25.พิจารณา $\ \ \frac{x^4+x^{-4}}{2}\geqslant\sqrt{x^4 \times x^{-4}}=1$
นั่นคือ $x^4+x^{-4}\geqslant 2$
$\therefore a^4+a^{-4}+b^4+b^{-4}+c^4+c^{-4}\geqslant 6$
______________________________________________________________________
ชุด2
18.จากอสมการ Cauchy-Schwarz
$5a+12b\leqslant \sqrt{5^2+12^2}\sqrt{a^2+b^2}$
$60\leqslant 13\sqrt{a^2+b^2}$
$\sqrt{a^2+b^2}\geqslant \frac{60}{13}$

[LightLucifer]

ข้อ 19 ขอโชว์หน่อยๆ ^^
จากโจทย์ $8^x=9^y=6^z$ จงหาค่าของ $\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{18}{z}$
พิจรณา $\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{18}{z}=\frac{6yz+9xz-18xy}{xyz}$
และพิจรณา $8^x=9^y=6^z$
$2^{3x}=3^{2y}=6^z$
ตอนแรกดูที่
$2^{3x}=3^{2y}$
$2^{3xz}=3^{2yz}$
$2^{9xz}=3^{6yz}$-------(1)
แล้วทิ้งไว้ก่อน มาดูที่
$2^{3x}=6^z$
$2^{3xy}=6^{yz}$
$2^{18xy}=6^{6yz}$------(2)
แล้วนำ $\frac{(1)}{(2)}$
$2^{9xz-18xy}=\frac{3^{6yz}}{6^{6yz}}$
$2^{9xz-18xy}=3^{6yz}(2^{-6yz}3^{-6yz})$
$2^{6yz+9xz-18xy}=2^0=1$
จะสรุปได้ว่า $6yz+9xz-18xy=0$
$\therefore \frac{6yz+9xz-18xy}{xyz}=0$...ANS

[[SIL]]

ชุดที่สองข้อ 18 ผมว่าใช้สามเหลี่ยมคล้ายโอเคกว่านะครับ เพราะผมไม่รู้จักโคชี่