การประยุกต์เเคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

[kurumi_00]

จงแสดงว่าสมการ $e^x+x=0$ มีเพียงหนึ่งคำตอบที่เป็นจำนวนจริงในช่วง [-1,0]

f(x) = $e^x+x$
f'(x) = $e^x+1 \geqslant 0$

เมื่อ -$\infty$<x<$\infty$ f(x) เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นทางเดียว

$\lim_{x \to -\infty}$ f(x) = $-\infty$ ,$\lim_{x \to \infty}$ f(x) = $\infty$
จากทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง มีจำนวนจริงเพียงหนึ่งค่าที่เป็นคำตแบของ f(x)=0
เนื่องจากf(-1) =$ \frac{1}{e}<0$ ,f(0) =1>0
สมการที่กำหนดให้มีเพียงหนึ่งคำตอบที่เป็นจำนวนจริงในช่วง [-1,0]

*สงสัยว่าเราจำเป็นต้องหา
เมื่อ $-\infty<x<\infty$ f(x) เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นทางเดียว
$\lim_{x \to -\infty}$ f(x) = $-\infty$ ,$\lim_{x \to \infty}$ f(x) = $\infty$ ด้วยเหรอค่ะ

[nooonuii]

ไม่จำเป็นต้องหาลิมิต เพราะตรงที่อ้างว่า

$f(-1)=\dfrac{1}{e}-1<0$

$f(0)=1>0$

นั้นเพียงพอที่จะสรุปว่าสมการมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบจาก Intermediate value theorem

แต่พิสูจน์ว่า $f$ เป็น strictly increasing function นั้นจำเป็นครับ

เพราะอันนี้จะทำให้ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ซึ่งหมายความว่าสมการ $f(x)=0$ จะมีคำตอบเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น

[kurumi_00]

จงพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยโดยใช้ทฤษฎีบทของโรลล์
[พิสูจน์] ให้ $F(x)= f(x) - [ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)] (a\leqslant x\leqslant b)$
F(a)=F(b)=0
$F'(x)=f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
จากทฤษฎีบทของโรลล์
จะได้ว่าฟังก์ชัน F(x)มีค่าc อย่างน้อยหนึ่งค่าในช่วง(a,b) ที่ทำให้F'(c)=0
จาก$F'(c)=f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

*อยากทราบว่าเรารู้ได้อย่างไรว่า
F(a)=F(b)=0

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kurumi_00

จงพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยโดยใช้ทฤษฎีบทของโรลล์
[พิสูจน์] ให้ $F(x)= f(x) - [ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)] (a\leqslant x\leqslant b)$
F(a)=F(b)=0
$F'(x)=f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
จากทฤษฎีบทของโรลล์
จะได้ว่าฟังก์ชัน F(x)มีค่าc อย่างน้อยหนึ่งค่าในช่วง(a,b) ที่ทำให้F'(c)=0
จาก$F'(c)=f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

*อยากทราบว่าเรารู้ได้อย่างไรว่า
F(a)=F(b)=0

ลองแทนค่าลงไปสิครับ