Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 30 มกราคม 2005, 22:34
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post Integral

ลองช่วยหาอินทิกรัลก้อนนี้หน่อยนะคับ ลองมาทุกวิธีแล้ว ใช้โปรแกรมคิดยังไม่ตรงเฉลยเลย
\[ \int _{x=d-b} ^{x=d+b}\frac{\mu_{0}}{\pi} \frac{\sqrt{b^{2}-x^{2}}}{x+d} dx \]
ทุกตัวเป็นค่าคงที่นะคับ มี x เป็นตัวแปรอย่างเดียว
เขาเฉลยว่า \[ \mu_{0}(d- \sqrt{d^{2}-b^{2}}) \]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!

30 มกราคม 2005 22:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 31 มกราคม 2005, 00:52
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile

ยกเว้นในกรณีที่ d = 0 แล้ว อินทิกรัลก้อนนี้หาค่าไม่ได้ครับ เพราะจะมี x ในช่วงที่เรา
integrate (ซึ่งก็คือจาก d - b ถึง d + b) เสมอที่ทำให้ b2 - x2 < 0
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 31 มกราคม 2005, 17:24
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post

ปัญหานี้มาจากโจทย์ฟิสิกส์น่ะครับ ผมคงตั้งแกนอ้างอิงไม่ดี เลยทำให้มันแปลกๆ ลองตั้งใหม่ได้แบบนี้ คับ เลื่อนแกนไป ไม่น่าจะมีปัญหา
\[ \int _{d-b} ^{d+b} \frac{\mu_{0}}{\pi}\frac{\sqrt{b^{2}-(x-d)^{2}}}{x} dx \]
เฉลยยังคงเป็นอันเดิมคับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 01 กุมภาพันธ์ 2005, 00:47
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile

ให้ $u = (x - d)/b$ อินทิกรัลโจทย์จะกลายเป็น $$ \frac{\mu_0b}{\pi} \int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1-u^2}}{a+u} \,du$$ โดยที่ $a = d/b$

ให้ $u = \sin\theta$ อินทิกรัลจะกลายเป็น
\[ \frac{\mu_0b}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2\theta}{a+\sin\theta}\,d\theta \]
เนื่องจาก $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ และ
\[ \frac{1-y^2}{a+y}= a-y+ \frac{1-a^2}{a+y} \]
ดังนั้น จึงมีค่าเท่ากับ
\[ \frac{\mu_0b}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} (a-\sin\theta) \,d\theta+ \frac{\mu_0b}{\pi} \left(1-a^2\right) \int_{-\frac{\pi}{2}}^ {\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{a+\sin\theta} \]
\[=\mu_0d+ \frac{\mu_0b}{\pi} \left(1-a^2\right) \int_{-\frac{\pi}{2}}^ {\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{a+\sin\theta} \]
ตอนนี้ก็จะเหลือแต่อินทิกรัลตัวยาก เพื่อความสะดวกเราให้ $\theta = 2t$ จะได้ว่า
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^ {\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{a+\sin\theta}= 2\int_{-\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{a+\sin2t} \]
เนื่องจาก
\[a+\sin2t=a+2\sin t\cos t=a+\frac{2\tan t}{\sec^2t}\]
\[ =\frac{a\sec^2t+2\tan t} {\sec^2t}= \frac{a+a\tan^2t+2\tan t} {\sec^2t} \]
ดังนั้นถ้าให้ $v = \tan t$ จะได้
\[ \int_{-\frac{\pi}{4}}^ {\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{a+\sin2t}= \int_{-1}^1 \frac{dv}{av^2+2v+a} \]
เนื่องจาก
\[av^2+2v+a= \frac1a \left((av+1)^2+ (a^2-1)\right) \]
และ
\[\int \frac{dz}{z^2+k^2}= \frac{1}{k}\tan^{-1} \frac{z}{k} +C\]
ดังนั้น
\[\int_{-1}^1 \frac{dv}{av^2+2v+a}= \frac{1}{\sqrt{a^2-1}}\tan^{-1}\left(\frac{av+1}{\sqrt{a^2-1}}\right) \Bigg|_{-1}^1\]
\[= \frac{1}{\sqrt{a^2-1}} \left(\tan^{-1} \left(\frac{a+1}{\sqrt{a^2-1}} \right)+ \tan^{-1} \left(\frac{a-1}{\sqrt{a^2-1}} \right) \right)\]
\[=\frac{\pi}{2\sqrt{a^2-1}}\]
เพราะ \(\large \frac{a-1}{\sqrt{a^2-1}} \) คือส่วนกลับของ \(\large \frac{a+1}{\sqrt{a^2-1}} \)

แทนค่าย้อนกลับไปจะได้ค่าอินทิกรัลของโจทย์คือ $$\mu_0d- \mu_0b \sqrt{a^2-1}= \mu_0 \left( d-\sqrt{d^2-b^2} \right) $$ ตามต้องการครับผม

26 มีนาคม 2006 15:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 01 กุมภาพันธ์ 2005, 01:42
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile

จริงๆแล้วมีสูตรอยู่อันหนึ่งที่หาได้จาก complex analysis คือ ถ้า a > |b| แล้ว
\[\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\sin\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\]
ถ้าเราใช้สูตรนี้บวกกับสมมาตรของ sine curve การหาค่าของ
\[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{a+\sin\theta}\]
ที่เกิดขึ้นในระหว่างการคำนวณข้างบน ก็จะง่ายขึ้นอย่างมากเลยครับ

26 มีนาคม 2006 15:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
โจทย์ Integral ค่ะ ช่วยคิดทีนะๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ Ding Dong Calculus and Analysis 7 25 กรกฎาคม 2006 15:23
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 17: Definite Integral warut คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 10 25 เมษายน 2006 19:59
complex integral ครับ Counter Striker ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 2 19 เมษายน 2005 15:27
integral จำกัดเขตข้อนี้ทำไงครับ xlover13 ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 14 03 มกราคม 2002 20:04

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 18:01


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha