โจทย์พีชคณิต เกี่ยวกับพนุนามครับ รบกวนที

[Non32789]

P(x),Q(x)และR(x) เป็นพหุนามที่ 2xP(x^3)+Q(-x-x^2)=(1+x+x^2)R(x)
จงแสดงว่า x-1 เป็นตัวประกอบของ P(x)-Q(x)

[กขฃคฅฆง]

แทน $x=\omega ,\omega ^2$

[<KAB555>]

ถ้า $P(x),Q(x), R(x)$ เป็นพหุนามที่ $2xP(x^3)+Q(-x-x^2)=(1+x+x^2)R(x)$ จงแสดงว่า $x-1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)-Q(x)$

จะแสดงว่า $P(1)-Q(1)=0$
ให้ $\omega = cis \frac{2\pi }{3} $
จะได้ว่า $\omega ^3=1$ และ $\omega^2+\omega +1=0 \rightarrow (-\omega ^2-\omega=1 และ \omega^2+\omega =-1)$
แทนค่า $x=\omega ^2$ และ $x=\omega $ ลงใน $2xP(x^3)+Q(-x-x^2)=(1+x+x^2)R(x)$

เมื่อ $x=\omega ^2$ จะได้ $2\omega ^2P((\omega ^2)^3)+Q(-\omega ^2-(\omega ^2)^2)=(1+\omega ^2+(\omega ^2)^2)R(\omega ^2)$
$2\omega ^2P(\omega ^6)+Q(-\omega ^2-\omega ^4)=(1+\omega ^2+\omega ^4)R(\omega ^2)$
$2\omega ^2P(1)+Q(-\omega ^2-\omega)=(1+\omega ^2+\omega)R(\omega ^2)$
$2\omega ^2P(1)+Q(1)=(0)R(\omega ^2)$
$2\omega ^2P(1)+Q(1)=0$ .................(1)

เมื่อ $x=\omega $ จะได้ $2\omega P(\omega^3)+Q(-\omega-\omega^2)=(1+\omega+\omega^2)R(\omega)$
$2\omega P(1)+Q(1)=(0)R(\omega)$
$2\omega P(1)+Q(1)=0$ .................(2)

(1)+(2) จะได้ $2\omega ^2P(1)+2\omega P(1)+2Q(1)=0$
$\omega ^2P(1)+\omega P(1)+Q(1)=0$
$P(1)(\omega ^2+\omega ) +Q(1)=0$
$P(1)(-1)+Q(1)=0$
$-P(1)+Q(1)=0$
$\therefore P(1)-Q(1)=0$