มีปัญหาช่วยให้พิสูจน์ (Group Theory)

[Tzenith]

1. Let G=<a> and G=<b> be cyclic groups. Prove that the function $f:G →G$ given by
$f(a^i)=b^i$ $∀i ∈ Z $ is an isomorphism of G.

2.Given an example of a group G with center C(G) such that $G/C(G)$ is abelian

ข้อแรกนะครับ ทำไปแล้ว แต่ อาจารย์เค้าให้แบ่ง case ย่อย เยอะมาก ก็คือ
เคส แรก ถ้า G is finite กะ infinite นะครับ แล้วก็ ตรงหลายๆส่วน ที่ต้องแบ่ง เคส i กับ j ถ้า มากกว่า จำนวน n ไรเนี่ยแหละครับ ช่วยทีนะครับ อยากได้วิธี พิสูจน์ที่ถูกต้องจริงๆอ่ะ

ข้อสองนะครับ ช่วยหาตัวอย่างให้ที ทีเด็ก ป.ตรี ไม่เก่งๆ สามารถไป พรีเซ็นต์หน้าห้องได้ (ช่วยอธิบายให้นิดนึงด้วยนะครับ)

ปล. ได้ถามไว้ใน ห้องพีชคณิต แล้ว แต่รีบใช้งานมาก เลยต้องมาตั้งห้องนี้

[nooonuii]

2. Let $G$ be an abelian group.

[Tzenith]

-*- ขอบคุณคับ แต่ -*- จะไปให้เหตุผลกะอาจารย์ยังไงเนี่ย -*- ฮ่าๆ ยังไงก็ขอบคุณนะค้าบ

แต่อยากได้ข้อ 1 มาก รอทั้งวันเลยค้าบ พรุ่งนี้ส่งแว้วววว

[Onasdi]

พอ G abelian แล้ว C(G)=? แล้ว G/C(G)=? หละครับ

ข้อหนึ่งครับ
ถ้า G infinite จะได้ว่า order ของ a, b = อนันต์
f injective เพราะ $f(a^i)=f(a^j)\,\Rightarrow\, b^i=b^j\,\Rightarrow\, b^{i-j}=e\,\Rightarrow\, i=j$ เพราะ order ของ b = อนันต์
f surjective เหตุผลลองอธิบายเอง ไม่ยากครับ
f homomorphism เพราะ $f(a^i)f(a^j)=b^ib^j=b^{i+j}=f(a^{i+j})=f(a^ia^j)$

ถ้า G finite จะได้ว่า |G|= order of a และ |G|= order of b ดังนั้น a และ b มี order เท่ากัน ขอเรียกว่า n นะครับ
ต้องพิสูจน์ด้วยว่า f well-defined เพราะว่าอาจจะมี i, j ที่ $a^i=a^j$ แต่ $b^i\not=b^j$
f well-defined: $a^i=a^j\,\Rightarrow\,a^{i-j}=e\,\Rightarrow\,n|i-j\,\Rightarrow\,b^{i-j}=e\,\Rightarrow\,b^i=b^j$
f bijective: ลองพิสูจน์ดูครับ
f homomorphism: $f(a^i)f(a^j)=b^ib^j=b^{i+j}=f(a^{i+j})=f(a^ia^j)$

[Tzenith]

คือ พิสูจน์ เคสแรก น่าจะุถูกนะครับ แต่เคสหลัง ต้องการ injective นะครับ เพราะการกำหนด i,j มันจะมี การกำหนดช่วงของ n ด้วย

ถ้า order of G = n ใช่มั้ยครับ มันจะเกิดเหตุการณ์ ที่ว่า หยิบ i,j มาแล้ว i อาจจะมากกว่า n หรือน้อยกว่า n และ j อาจจะมากกว่า n หรือ น้อยกว่า n อ่ะครับ ส่วน homo ของเคสหลัง ผมว่ามันก็น่าจะ แบ่งเคสย่อยเป็น 4 เคสอีกหรือป่าว เพราะว่า ทำแบบนั้น ไปแล้ว มันผิด -*- แต่คิดไม่ออกๆๆ

[ครูนะ]

ให้ G เป็นกรุปวัฏจักรและมีอันดับจำกัด
เลือก i มากกว่า n จะได้ a^i เท่ากับ a^j โดยที่ j น้อยกว่า n
ในทำนองเดียวกัน เลือก i น้อยกว่า n จะได้ a^i เท่ากับ a^j โดยที่ j มากกว่า n

ลอกนึกถึง Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} ที่เป็นกรุปวัฏจักรจำกัด

เพราะฉะนั้น ไม่ว่าจะเลือก i, j ที่น้อยกว่าหรือมากกว่า n ยังไงก็ตาม a^i = a^j เสมอ

ดังนั้นในกรณี Homomorphism ก็ไม่จำเป็นต้องแยกกรณี