Math I (Quota CMU'54)

[SolitudE]

ตอนที่ 1
(ข้อที่ 1-10 ข้อละ 4 คะแนน)

1. จงหาลิมิตของลำดับ $a_n=\frac{n^3}{2n^2-1}-\frac{n^2-2}{2n+1}$

2. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ $f(x)=4-x^2$ และ $y=0$ จาก $x=0$ ถึง $x=4$

3. สมศรีผลิตเสื้อขาย 2 แบบคือแบบ A และแบบ B เสื้อแบบ A แต่ละตัวต้องเสียเวลาในการตัดผ้า 1 ชั่วโมง และเย็บ 3 ชั่วโมง ส่วนแบบ B แต่ละตัวต้องเสียเวลาในการตัดผ้า 2 ชั่วโมง และเย็บ 1 ชั่วโมง เสื้อแบบ A ขายได้กำไรตัวละ 150 บาท และแบบ B ขายได้กำไรตัวละ 120 บาท ถ้าใน 1 วัน สมศรีมีเวลาสำหรับการตัดผ้าไม่เกิน 8 ชั่วโมงและเย็บผ้าไม่เกิน 9 ชั่วโมง
จงหากำไรที่สมศรีทำได้มากที่สุดใน 1 วัน

4. จงหาค่าของ $P(\mu -\sigma <X<\mu+2\sigma)$ เมื่อ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ ซึ่งมีค่าเฉลี่ย $\mu$ และความแปรปรวนเท่ากับ $\sigma^2$

5. <CUT>

6. กำหนดให้ $I^+$ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก

ถ้า $A$ = $\left\{\, x \in I^+ : \frac{x}{2} เป็นจำนวนเต็มคี่ \right\}$

และ $B$=$\left\{\, x \in I^+ : \frac{100}{x} เป็นจำนวนเต็มคู่ \right\} $

จงหาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ $A\cap B$

7. ถ้า $g(x)=\frac{1}{3}x-3$ และ $(g\circ h)(x)=2x-1$ จงหาค่าของ $(h\circ g)(30)$

8. ถ้า $[a,b]=\left\{\, x \in R : a\leqslant x\leqslant b\right\}$ เป็นเซตคำตอบของ $|\frac{3x+1}{2}| \leqslant x+2$

และ $(-\infty ,c]\cup [d,\infty) = \left\{\,x \in R : x\leqslant c หรือ x\geqslant d \right\}$ เป็นเซตคำตอบของ $\left|\,2x-1\right| \geqslant x+1$

จงหาค่าของ $\frac{d-c}{b-a}$

9. ถ้ากราฟมี 11 เส้น มีจุด 4 จุดที่มีดีกรี 3 และจุดที่เหลือแต่ละจุดมีดีกรีเท่ากับ 2 กราฟนี้จะมีจุดทั้งหมดกี่จุด

10. จำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 300 (รวม 1 และ 300) มีกี่จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว แต่หารด้วย 3 และ 7 ไม่ลงตัว

++จบตอนที่ 1++

ตอนที่ 2
(ข้อที่ 1-20 ข้อละ 3 คะแนน)

3. จงหาผลบวกของอนุกรม $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^2+3n+2}}$

5. ร้านขายเสื้อแห่งหนึ่งมีเสื้อสีขาว 10 ตัว สีดำ 5 ตัว มีกระโปรงสีขาว 3 ตัว สีดำ 2ตัว และสีแดง 4 ตัว เจ้าของร้านต้องการใส่เสื้อผ้าให้หุ่นหน้าร้าน 1 ตัว โดยไม่เจาะจง ค่าความน่าจะเป็นที่เจ้าของร้านจะสวมเสื้อผ้าให้หุ่นโดยที่สีเสื้อและสีกระโปรงต่างกันคือเท่าไร

6. $tan 15^{\circ}+tan75^{\circ}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

7. ถ้า $log 3 \approx 0.47712$ แล้ว $3^{64}$ จะมีทั้งหมดกี่หลัก

8. พิจารณาพหุนาม $f(z)=z^7-8z^4-16z^3+128$ ซึ่งมีรากเป็นทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน $z_1,z_2,...,z_7$ ค่าของ $z_1\times z_2\times ...\times z_7$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

ปล.ไม่พิมพ์ latex นาน เกือบลืมซะแล้ว

[~ArT_Ty~]

ข้อ 1 $n$ ลู่เข้าค่าไหนครับ?

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 1 $n$ ลู่เข้าค่าไหนครับ?

โจทย์เขียนไว้เพียงเท่านั้ (ไม่มีรอยแก้ด้วยสิครับ)

งั้นเพิ่มเองเป็น $\lim_{n \to \infty}a_n $

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

1. จงหาลิมิตของลำดับ $a_n=\frac{n^3}{2n^2-1}-\frac{n^2-2}{2n+1}$

$a_{n}=\frac{n^3+3n^2+2}{4n^3+2n^2-2n-1}$
$\lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{1}{4}$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

2. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ $f(x)=4-x^2$ และ $y=0$ จาก $x=0$ ถึง $x=4$

วาดรูปดูจะได้ว่า
$A=\int_{0}^{2}(4-x^2)dx+\int_{2}^{4}(x^2-4)dx=16$

[nooonuii]

คำว่า "ลิมิต" ของลำดับสื่อความหมายได้เพียงอย่างเดียวคือ $n\to\infty$

จึงไม่ได้ระบุไว้ เป็นการเช็คความเข้าใจความรู้พื้นฐานด้วยส่วนหนึ่ง

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

3. สมศรีผลิตเสื้อขาย 2 แบบคือแบบ A และแบบ B เสื้อแบบ A แต่ละตัวต้องเสียเวลาในการตัดผ้า 1 ชั่วโมง และเย็บ 3 ชั่วโมง ส่วนแบบ B แต่ละตัวต้องเสียเวลาในการตัดผ้า 2 ชั่วโมง และเย็บ 1 ชั่วโมง เสื้อแบบ A ขายได้กำไรตัวละ 150 บาท และแบบ B ขายได้กำไรตัวละ 120 บาท ถ้าใน 1 วัน สมศรีมีเวลาสำหรับการตัดผ้าไม่เกิน 8 ชั่วโมงและเย็บผ้าไม่เกิน 9 ชั่วโมง
จงหากำไรที่สมศรีทำได้มากที่สุดใน 1 วัน

ให้สมศรีผลิตเสื้อแบบ $A$และ $B$ได้ $x$ และ $y$ ตัวตามลำดับใน 1 วัน
อสมการข้อกำหนดคือ
$x>0$
$y> 0$
$x+2y\leqslant 8$
$3x+y\leqslant 9$
สมการจุดประสงค์คือ $P(x,y)=150x+120y$
วาดกราฟหาจุดตัดได้ $(2,3)$
ดังนั้นกำไรมากสุด $=P(2,3)=660$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

4. จงหาค่าของ $P(\mu -\sigma <X<\mu+2\sigma)$ เมื่อ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ ซึ่งมีค่าเฉลี่ย $\mu$ และความแปรปรวนเท่ากับ $\sigma^2$

แปลงค่าเป็น $Z$ จะได้
$P(-1<Z<2)=P(-1<Z<0)+P(0<Z<2)$ แล้วก็ไปเปิดตาราง
$=0.3413+0.4772=0.8185$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

6. กำหนดให้ $I^+$ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก

ถ้า $A$ = $\left\{\, x \in I^+ : \frac{x}{2} เป็นจำนวนเต็มคี่ \right\}$

และ $B$=$\left\{\, x \in I^+ : \frac{100}{x} เป็นจำนวนเต็มคู่ \right\} $

จงหาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ $A\cap B$

$A=\{2,6,10,14,...\}$
$B=\{1,2,5,10,25,50\}$
$A\cap B=\{2,10,50\}$
ผลบวกของสมาชิกเท่ากับ $62$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

7. ถ้า $g(x)=\frac{1}{3}x-3$ และ $(g\circ h)(x)=2x-1$ จงหาค่าของ $(h\circ g)(30)$

$g(h(x))=2x-1=\frac{1}{3}h(x)-3$
$h(x)=6(x+1)$
$h(g(x))=6(g(x)+1)=2x-12$
$hog(30)=2(30)-12=48$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

8. ถ้า $[a,b]=\left\{\, x \in R : a\leqslant x\leqslant b\right\}$ เป็นเซตคำตอบของ $|\frac{3x+1}{2}| \leqslant x+2$

และ $(-\infty ,c]\cup [d,\infty) = \left\{\,x \in R : x\leqslant c หรือ x\geqslant d \right\}$ เป็นเซตคำตอบของ $\left|\,2x-1\right| \geqslant x+1$

จงหาค่าของ $\frac{d-c}{b-a}$

$|\frac{3x+1}{2}|\leqslant x+2$
$|3x+1|\leqslant 2x+4$
$-2x-4\leqslant 3x+1\leqslant 2x+4$
$-1\leqslant x\leqslant 3$--->$a=-1,b=3$


$|2x-1|\geqslant x+1$
$2x-1\leqslant -x-1\ \ ,2x-1\geqslant x+1$
$x\leqslant 0\ \ ,x\geqslant 2$---->$c=0\ \ ,d=2$
$\frac{d-c}{b-a}=\frac{1}{2}$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yellow

$=0.3413+0.4772=0.8185$

ดูตารางผิดครับ
ขอบคุณ คุณ yellow ครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

10. จำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 300 (รวม 1 และ 300) มีกี่จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว แต่หารด้วย 3 และ 7 ไม่ลงตัว

ให้ $A$ คือเซตจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 300 (รวม 1 และ 300) ที่หารด้วย 5 ลงตัว
$B$ คือเซตจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 300 (รวม 1 และ 300) ที่หารด้วย 3 ลงตัว
$C$ คือเซตจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 300 (รวม 1 และ 300) ที่หารด้วย 7 ลงตัว
จำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 300 (รวม 1 และ 300) มีกี่จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว แต่หารด้วย 3 และ 7 ไม่ลงตัว
เขียนแทนด้วย $A\cap B' \cap C'$ เท่ากับ $A-(B\cup C)$ เขียนแผนภาพเวนน์จะเห็นชัด



จะได้ว่าสิ่งที่โจทย์ถามคือ บริเวณในเซต $A$ ที่แรเงาด้วยสีเหลือง

จาก 1 ถึง 300
มีจำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว $60$ ตัว
มีจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว $100$ ตัว
มีจำนวนที่หารด้วย 7 ลงตัว $41$ ตัว
มีจำนวนที่หารด้วย 3 และ5 ลงตัว $19$ ตัว
มีจำนวนที่หารด้วย 5 และ7 ลงตัว $7$ ตัว
มีจำนวนที่หารด้วย 3,5 และ7 ลงตัว $2$ ตัว

จำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 300 (รวม 1 และ 300) ที่หารด้วย 5 ลงตัว แต่หารด้วย 3 และ 7 ไม่ลงตัว เท่ากับ $60-17-2-5=36$ จำนวน

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

10. จำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 300 (รวม 1 และ 300) มีกี่จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว แต่หารด้วย 3 และ 7 ไม่ลงตัว

จำนวนที่หาร 5 ลงตัวมี 60 จำนวน

จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว โดยสามารถ หารด้วย 3 และ 7 ลงตัว คือจำนวนที่มี 3, 5, 7 เป็นตัวประกอบ มี 2 จำนวน

จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว แต่หารด้วย 3 และ 7 ไม่ลงตัว มี 60 -2 = 58 จำนวน

[poper]

ข้อ10. ได้เท่าคุณ yellow ครับ
หารด้วย 3 และ 7 ไม่ลงตัว คือ หารด้วย 21 ไม่ลงตัว