Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > พีชคณิต
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 22 สิงหาคม 2007, 21:33
dektep's Avatar
dektep dektep ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 มีนาคม 2007
ข้อความ: 580
dektep is on a distinguished road
Default hard functional equation

1. Find all functions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisfying $f(x+f(y))=x+f(f(y))$
for all real numbers $x$ and $y$, with the additional constraint f(2004)=2005.

2. Let $\mathbb{N}$ denote the set of positive integers.Find all functions $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$
such that $f(m+n)f(m-n)=f(m^2)$.

3. Find all functions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ such that $f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)$
for all real numbers $x$ and $y$.

26 สิงหาคม 2007 13:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
เหตุผล: TeX code fixed + reformatting
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 25 สิงหาคม 2007, 20:40
putmusic putmusic ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 สิงหาคม 2007
ข้อความ: 183
putmusic is on a distinguished road
Default

อยากให้พิมพ์เป็นไทยได้มั้ยครับ ผมไม่เก่งอังกฤษครับ

25 สิงหาคม 2007 20:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ putmusic
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 05 กันยายน 2007, 19:25
tatari/nightmare's Avatar
tatari/nightmare tatari/nightmare ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 กรกฎาคม 2007
ข้อความ: 276
tatari/nightmare is on a distinguished road
Default

1.จงหาฟังก์ชัน$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไข
$$f(x+f(y))=x+f(f(y))$$ และ $f(2004)=2005$
ให้ $x_0\in\mathbb{R}$ ซึ่ง $f(x_0)=0$ แทน y ด้วย $x_0$ จะได้ $f(x)=x+f(0)......(1)$
แทนค่า x ด้วย 2004 ลงใน (1) ได้ $f(2004)=2004+f(0)\rightarrow 2005=2004+f(0)\rightarrow f(0)=1$ นำค่า f(0) ไปแทนใน (1) จะได้ $f(x)=x+1$ ซึ่งเมื่อนำไปตรวจสอบจะเห็นว่าจริง
3.จงหา$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไข
$$f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)$$
สมมติว่า $f(a)=f(b)$ เมื่อ $a,b\in\mathbb{R}$ จะได้ $f(a)-1=f(b)-1$
$\therefore f(a)f(f(a)-1)=f(b)f(f(b)-1)\rightarrow a^2f(1)-f(a)=b^2f(1)-f(b)\rightarrow a^2=b^2 \therefore a=\pm b$
แทน x=y: $f(x)f(xf(x)-1)=x^2f(x)-f(x)\rightarrow f(x)[f(xf(x)-1)-x^2+1]=0$ ฉะนั้น ถ้า $f(x)=0$
จะเห็นว่าสอดคล้อง สมมติว่า $f(x)\not=0 \therefore f(xf(x)-1)=x^2-1$
แทน x=0: $f(-1)=-1$ แทน x=-1: $f(-f(-1)-1)=0\rightarrow f(0)=0$ แทน x=1: $f(f(1)-1)=0$
จากที่ ถ้า $f(a)=f(b)$ แล้ว $a=\pm b \therefore f(1)-1=0\rightarrow f(1)=1$
แทนค่า x ด้วย -x : $f(-xf(-x)-1)=x^2-1=f(xf(x)-1)$ จะได้ $xf(x)-1=-xf(-x)-1$ หรือ $xf(x)-1=xf(-x)+1$จะเห็นว่า ถ้าแทน $x=0$ ใน $xf(x)-1=xf(-x)+1$ จะได้ -1=1 จึงไม่จริง
$\therefore xf(x)=-xf(-x)\rightarrow f(-x)= -f(x)$
แทน x=-1 ในสมการที่กำหนดให้มา
$f(-1)f(yf(-1)-1)=f(y)-f(-1)\rightarrow (-1)f(-(y+1))=f(y)+1\rightarrow f(y+1)=f(y)+1$
ซึ่งก็คือจะสามารถแสดงได้โดยง่ายว่า $f(x)=x$ (เหนื่อย)
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!!
ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง
อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!!

BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

05 กันยายน 2007 20:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tatari/nightmare
เหตุผล: ลืมใส่ $
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 25 กันยายน 2007, 19:39
Erken Erken ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 กันยายน 2007
ข้อความ: 41
Erken is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare View Post
1.จงหาฟังก์ชัน$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไข
$$f(x+f(y))=x+f(f(y))$$ และ $f(2004)=2005$
ให้ $x_0\in\mathbb{R}$ ซึ่ง $f(x_0)=0$ แทน y ด้วย $x_0$ จะได้ $f(x)=x+f(0)......(1)$
แทนค่า x ด้วย 2004 ลงใน (1) ได้ $f(2004)=2004+f(0)\rightarrow 2005=2004+f(0)\rightarrow f(0)=1$ นำค่า f(0) ไปแทนใน (1) จะได้ $f(x)=x+1$ ซึ่งเมื่อนำไปตรวจสอบจะเห็นว่าจริง
3.จงหา$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไข
$$f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)$$
สมมติว่า $f(a)=f(b)$ เมื่อ $a,b\in\mathbb{R}$ จะได้ $f(a)-1=f(b)-1$
$\therefore f(a)f(f(a)-1)=f(b)f(f(b)-1)\rightarrow a^2f(1)-f(a)=b^2f(1)-f(b)\rightarrow a^2=b^2 \therefore a=\pm b$
แทน x=y: $f(x)f(xf(x)-1)=x^2f(x)-f(x)\rightarrow f(x)[f(xf(x)-1)-x^2+1]=0$ ฉะนั้น ถ้า $f(x)=0$
จะเห็นว่าสอดคล้อง สมมติว่า $f(x)\not=0 \therefore f(xf(x)-1)=x^2-1$
แทน x=0: $f(-1)=-1$ แทน x=-1: $f(-f(-1)-1)=0\rightarrow f(0)=0$ แทน x=1: $f(f(1)-1)=0$
จากที่ ถ้า $f(a)=f(b)$ แล้ว $a=\pm b \therefore f(1)-1=0\rightarrow f(1)=1$
แทนค่า x ด้วย -x : $f(-xf(-x)-1)=x^2-1=f(xf(x)-1)$ จะได้ $xf(x)-1=-xf(-x)-1$ หรือ $xf(x)-1=xf(-x)+1$จะเห็นว่า ถ้าแทน $x=0$ ใน $xf(x)-1=xf(-x)+1$ จะได้ -1=1 จึงไม่จริง
$\therefore xf(x)=-xf(-x)\rightarrow f(-x)= -f(x)$
แทน x=-1 ในสมการที่กำหนดให้มา
$f(-1)f(yf(-1)-1)=f(y)-f(-1)\rightarrow (-1)f(-(y+1))=f(y)+1\rightarrow f(y+1)=f(y)+1$
ซึ่งก็คือจะสามารถแสดงได้โดยง่ายว่า $f(x)=x$ (เหนื่อย)
ข้อ 1.) ทำไมถึงรู้ว่า มี $x_{0}$ ซึ่งทำให้ $f(x_{0})=0$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 25 กันยายน 2007, 22:00
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Erken View Post
ข้อ 1.) ทำไมถึงรู้ว่า มี $x_{0}$ ซึ่งทำให้ $f(x_{0})=0$
ลองให้ $x=-f(f(y))$ ดูครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 25 กันยายน 2007, 22:59
lunor's Avatar
lunor lunor ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 กันยายน 2007
ข้อความ: 106
lunor is on a distinguished road
Default

เก่งจังครับ ผมทำไม่ได้เลย แงแงแง
__________________
<N>![P]r0T!veVeN0m Yowwwww
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 14 เมษายน 2016, 17:48
ThE-dArK-lOrD ThE-dArK-lOrD ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 เมษายน 2016
ข้อความ: 22
ThE-dArK-lOrD is on a distinguished road
Default

Problem $2)$ is USA TST $2003$ P$4$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
hard combinatorics dektep คอมบินาทอริก 9 27 ตุลาคม 2007 22:28
Functional Analysis mercedesbenz คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 4 18 สิงหาคม 2007 18:08
Hyperbolic equation Redhotchillipepper พีชคณิต 1 26 มกราคม 2007 19:58
อยากเรียน Differential Equation ให้รู้เรื่อง <Darm> ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 0 04 เมษายน 2001 10:44

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:58


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha