โจทย์ปัญหาผลบวกและผลคูณ

[pont494]

1.จงพิสูจน์ว่า $\prod_{n = 2}^{\infty} (\frac{n^3-1}{n^3+1}) = \frac{2}{3} $

2.จงหาค่าของ
2.1 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{k^2-\frac{1}{2} }{k^4+\frac{1}{4} } $
2.2 $\prod_{n = 0}^{\infty} (1+\frac{1}{2^{2^n}})$

[Thamma]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

2.2 $\prod_{n = 0}^{\infty} (1+\frac{1}{2^{2^n}})$

คูณตัวประกอบตัวแรก ด้วย $ 2 \left (1- \frac {1}{{2^2}^0}\right) $

[pont494]

ขอบคุณมากครับ รบกวนข้ออื่นด้วยครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อแรก แทน n=1 มันได้ 0 นะครับ
$$\prod_{n = 2}^{\infty} \frac{n-1}{n+1}×\prod_{n = 2}^{\infty} \frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}$$
$$=\frac{(n-1)(n)(n+1)...}{(n+1)(n+2)(n+3)...} × \frac{1}{3}$$
$$=\frac{2}{3}$$
พจน์กำลังสองมันคล้ายๆเทเลสโคปิก ดูดีดีครับ

[pont494]

แก้ให้แล้วครับขอบคุณที่เตือนครับ

[FranceZii Siriseth]

2.1 Hint $k^4+\frac{1}{4}=(k^4+k^2+\frac{1}{4})-k^2$