Prove some property of cyclic group

[511413]

Let $a,a',b,b' \in G$, as a cyclic group. If $o(a)=o(a')$ and $o(b)=o(b')$, then $o(b+\langle a\rangle)=o(b'+\langle a'\rangle)$.

รบกวนท่านผู้รู้ช่วยแนะนำด้วยนะครับ

ขอบคุณครับ

[511413]

Let $G$ be a cyclic group with $a,a′\in G$. If $o(a)=o(a′)$, then $a′\in \{ka:1≤k≤o(a)⋀\gcd(k,o(a))=1\}$.
ถ้าใช้ความจริงข้างต้นในการ proof
จะได้ว่า $o(b'+\langle a'\rangle)=o(lb+\langle ka\rangle)$ where $\gcd(k,o(a))=1=\gcd(l,o(b))$. เรารู้ว่า $|\langle ka\rangle|=\frac{o(a)}{\gcd(k,o(a))}=o(a)$.แล้ว>>>>ไงต่อครับ
เพื่อให้ได้ว่ามันเท่ากับ $o(b+\langle a\rangle)$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ 511413

$o(b+\langle a\rangle)$

ยังไม่เข้าใจสัญลักษณ์นี้ หมายถึงขนาดของ coset เหรอครับ

[511413]

ใช่ครับ โดยที่ $b+\langle a \rangle \in G/\langle a \rangle$ ครับ