รบกวนหน่อยครับ การสับเปลี่ยน-จัดหมู่

[~VesCuLaR~]

1.จงหาจำนวนวิธีสับเปลี่บนแบบวงกลมของอักษร A A B B C C
2.มีผู้ชาย 4 คน และผู้หญิง 4 คน ในจำนวนนี้มีสมชายและสมหญิงรวมอยู่ด้วยให้คนทั้งหมดมานั่งรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 8 ที่ผู้ชายและผู้หญิงสลับกันทีละ 2 คน และสมชายต้องไม่นั่งติดกับสมหญิงจะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี
3.ทาสี5สีต่างกันบนหน้าของลูกเต๋าหน้าละสีโดยที่ไม่ให้หน้าที่ทาสีเดียวกันอยู่ติดกันมีวิธีทาสีทั้งหมดกี่วิธี(อ.ผมเฉลย360ทำไงหว่า)

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[polsk133]

ข้อ1รู้สึกจะไม่มีสูตรอะครับ

หรือว่ามีครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~VesCuLaR~

1.จงหาจำนวนวิธีสับเปลี่บนแบบวงกลมของอักษร A A B B C C
2.มีผู้ชาย 4 คน และผู้หญิง 4 คน ในจำนวนนี้มีสมชายและสมหญิงรวมอยู่ด้วยให้คนทั้งหมดมานั่งรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 8 ที่ผู้ชายและผู้หญิงสลับกันทีละ 2 คน และสมชายต้องไม่นั่งติดกับสมหญิงจะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี
3.ทาสี5สีต่างกันบนหน้าของลูกเต๋าหน้าละสีโดยที่ไม่ให้หน้าที่ทาสีเดียวกันอยู่ติดกันมีวิธีทาสีทั้งหมดกี่วิธี(อ.ผมเฉลย360ทำไงหว่า)

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

ข้อ 1. มีสูตรของ Polya ครับ ดูในนี้ ซึ่งอันนี้จะเกินหลักสูตรครับ
จะได้ จำนวนวิธี $= \frac{1}{6}[\frac{6!}{2!2!2!} + \frac{3!}{1!1!1!}] = 16$

ซึ่งคงไม่อยู่ในวิสัยที่จะเขียนแจกแจงออกมาได้ครับ

และผมก็ยังไม่เข้าใจที่มาของสูตรครับ

เพราะต้องศึกษาและอ่านเรื่องกรุป + generating function วุ่นวายทีเดียว

แต่ผมเคยลองตรวจสอบโดยการแจกแจงทั้งหมด ก็พบว่าจริงเสมออยู่ครับ

อย่างกรณีข้อนี้ ใน 16 แบบนั้น จริง ๆ แล้วจะแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือ

1. กลุ่มที่คาบเท่ากับ 6 เช่น AABBCC หรือ AABCBC หรือ ABACBC เป็นต้น จำนวน 14 กลุ่ม
2. กลุ่มที่คาบเท่ากับ 3 เช่น BCABCA มีอยู่ 2 กลุ่ม

($6\times 14 + 3\times 2 = 90 = \frac{6!}{2!2!2!}$)

==============================================

ข้อ 2. ก่อนจะตอบคำถามนี้ ลองอธิบายให้ได้ก่อนครับ ว่าถ้ามีชาย 4 คน หญิง 4 คน สลับที่ทีละ 2 เป็นวงกลม จะสลับได้กี่วิธี ถ้าอธิบายทุกขั้นอย่างละเอียดได้ ข้อนี้ก็ควรจะทำได้ครับ.

==============================================

ข้อ 3. วิธีคิดแบบหนึ่งก็คือ

ประการแรกเราต้องมองออกก่อนว่า ถ้าใช้สีทั้ง 5 สี แล้วแสดงว่าจะมีอยู่ 1 สีที่ต้องทาบนหมายเลขของลูกเต๋าที่อยู่ตรงข้ามกัน เมื่อเข้าใจตรงนี้ก็สบายแล้วครับ.

ขั้นที่ 1. เลือกมา 1 สี ที่จะเป็นสีที่ทาบนด้านที่อยู่ตรงข้ามกัน เลือกได้ $\binom{5}{1}$

ขั้นที่ 2. เอาสีที่เลือกจากขั้นที่ 1. ไปทาเป็นคู่ ๆ ได้ 3 วิธี เพราะมีแต้ม 3 คู่ที่อยู่ตรงข้ามกัน

ขั้นที่ 3. ตอนนี้มีสีเหลือ 4 สี และมีแต้มอยู่ 4 หน้าที่ยังไม่ได้ทา เราต้องทาให้ครบทุกสี ดังนั้นต้องทาหน้าละสีนั่นเอง ซึ่งทาได้ $4\times3\times2\times1$ วิธี

ดังนั้นทาได้ทั้งหมด $\binom{5}{1}\times3\times4\times3\times2\times1$

ข้อต่อไปนี้ ควรทำควบคู่กันไป เพื่อทดสอบว่าเข้าใจเรื่องทาสีนี้ในระดับหนึ่งแล้วนะครับ.

ข้อ 4. มีสี 4 สี ต้องการทาทั้ง 4 สี บนลูกเต๋า โดยสีที่เหมือนกัน ห้ามอยู่ติดกัน จะทาได้กี่วิธี
ข้อ 5. มีสี 3 สี ต้องการทาทั้ง 3 สี บนลูกเต๋า โดยสีที่เหมือนกัน ห้ามอยู่ติดกัน จะทาได้กี่วิธี
ข้อ 6. มีสี 5 สี ต้องการทาทั้ง 5 สี บนลูกบาศก์ โดยสีที่เหมือนกัน ห้ามอยู่ติดกัน จะทาได้กี่วิธี
ข้อ 7. มีสี 4 สี ต้องการทาทั้ง 4 สี บนลูกบาศก์ โดยสีที่เหมือนกัน ห้ามอยู่ติดกัน จะทาได้กี่วิธี
ข้อ 8. มีสี 3 สี ต้องการทาทั้ง 3 สี บนลูกบาศก์ โดยสีที่เหมือนกัน ห้ามอยู่ติดกัน จะทาได้กี่วิธี
ข้อ 9. มีสี 4 สี ต้องการทาทั้ง 4 สี บนทรงเหลี่ยมสี่หน้า จะทาได้กี่วิธี

[~VesCuLaR~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 1. มีสูตรของ Polya ครับ ดูในนี้ ซึ่งอันนี้จะเกินหลักสูตรครับ
จะได้ จำนวนวิธี $= \frac{1}{6}[\frac{6!}{2!2!2!} + \frac{3!}{1!1!1!}] = 16$

ซึ่งคงไม่อยู่ในวิสัยที่จะเขียนแจกแจงออกมาได้ครับ

และผมก็ยังไม่เข้าใจที่มาของสูตรครับ

เพราะต้องศึกษาและอ่านเรื่องกรุป + generating function วุ่นวายทีเดียว

แต่ผมเคยลองตรวจสอบโดยการแจกแจงทั้งหมด ก็พบว่าจริงเสมออยู่ครับ

อย่างกรณีข้อนี้ ใน 16 แบบนั้น จริง ๆ แล้วจะแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือ

1. กลุ่มที่คาบเท่ากับ 6 เช่น AABBCC หรือ AABCBC หรือ ABACBC เป็นต้น จำนวน 14 กลุ่ม
2. กลุ่มที่คาบเท่ากับ 3 เช่น BCABCA มีอยู่ 2 กลุ่ม

($6\times 14 + 3\times 2 = 90 = \frac{6!}{2!2!2!}$)

==============================================

ข้อ 2. ก่อนจะตอบคำถามนี้ ลองอธิบายให้ได้ก่อนครับ ว่าถ้ามีชาย 4 คน หญิง 4 คน สลับที่ทีละ 2 เป็นวงกลม จะสลับได้กี่วิธี ถ้าอธิบายทุกขั้นอย่างละเอียดได้ ข้อนี้ก็ควรจะทำได้ครับ.

==============================================

ข้อ 3. วิธีคิดแบบหนึ่งก็คือ

ประการแรกเราต้องมองออกก่อนว่า ถ้าใช้สีทั้ง 5 สี แล้วแสดงว่าจะมีอยู่ 1 สีที่ต้องทาบนหมายเลขของลูกเต๋าที่อยู่ตรงข้ามกัน เมื่อเข้าใจตรงนี้ก็สบายแล้วครับ.

ขั้นที่ 1. เลือกมา 1 สี ที่จะเป็นสีที่ทาบนด้านที่อยู่ตรงข้ามกัน เลือกได้ $\binom{5}{1}$

ขั้นที่ 2. เอาสีที่เลือกจากขั้นที่ 1. ไปทาเป็นคู่ ๆ ได้ 3 วิธี เพราะมีแต้ม 3 คู่ที่อยู่ตรงข้ามกัน

ขั้นที่ 3. ตอนนี้มีสีเหลือ 4 สี และมีแต้มอยู่ 4 หน้าที่ยังไม่ได้ทา เราต้องทาให้ครบทุกสี ดังนั้นต้องทาหน้าละสีนั่นเอง ซึ่งทาได้ $4\times3\times2\times1$ วิธี

ดังนั้นทาได้ทั้งหมด $\binom{5}{1}\times3\times4\times3\times2\times1$

ข้อต่อไปนี้ ควรทำควบคู่กันไป เพื่อทดสอบว่าเข้าใจเรื่องทาสีนี้ในระดับหนึ่งแล้วนะครับ.

ขอบคุณมากๆเลยครับผม
ขออีกนิดนะครับผมงงว่าทำไม มันไม่เท่ากับ $5!/2!2!2!$ แต่เป็น $6!/2!2!2!$ เพราะว่ามัน6ตัวก็n-1 =6-1 =5อ่ะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~VesCuLaR~

ขอบคุณมากๆเลยครับผม
ขออีกนิดนะครับผมงงว่าทำไม มันไม่เท่ากับ $5!/2!2!2!$ แต่เป็น $6!/2!2!2!$ เพราะว่ามัน6ตัวก็n-1 =6-1 =5อ่ะครับ

สูตรที่ให้ไว้จากในลิงก์นั้น เป็นสูตรทั่วไปครับ ลองอ่านดูดี ๆ อีกครั้งนะครับ

ส่วนสูตรที่บอกว่า $\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!...n_k!}$ สูตรนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ ห.ร.ม.ของ $(n_1, n_2, ... , n_k) = 1$ เท่านั้นครับ

ซึ่งอย่างในข้อนี้ ห.ร.ม.ของ $(n_1, n_2, n_3) = (2, 2, 2) = 2$

จึงใช้ $\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!...n_k!}$ ไม่ได้ ซึ่งถ้าใช้ก็จะได้คำตอบที่ผิดครับ คำตอบจะหายไป (นับไม่ครบ)

ก็คือสูตร $\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!...n_k!}$ มาจากสูตรในลิงก์ข้างบนที่ให้ไว้นั่นเอง โดยมาจากกรณีที่ $d=1$ เท่านั้น ซึ่งจะเกิดเมื่อ $(n_1, n_2, ... , n_k) = 1$ โดย $\frac{1}{n}\cdot \frac{n!}{n_1! n_2! n_3! ... n_k!} = \frac{(n-1)!}{n_1! n_2! ... n_k!}$

อย่างเช่น ถ้าจัด A, A, A, B, B, C, C แบบนี้ ห.ร.ม.ของ (2, 2, 3) = 1 จะเข้ากรณีพิเศษ $(d=1)$ คือจะได้ จำนวนวิธี = $\frac{1}{7}[\frac{7!}{2!2!3!}] = \frac{6!}{2!2!3!}$

แต่สำหรับข้อนี้คือ A, A, B, B, C, C จะเห็นว่า ห.ร.ม.ของ $(2, 2, 2) = 2 \ne 1$ แล้วการที่ $d|2$ แสดงว่า $d = 1$ หรือ $d = 2$

ถ้าเราใช้แค่ $\frac{1}{6}[\frac{6!}{2!2!2!}] = \frac{5!}{2!2!2!} = 15$ คำตอบก็จะหายไป 1 วิธีครับ. (อันนี้คือกรณีที่ $d=1$)

ที่ถูกคือต้องรวมกรณีที่ $d=2$ อีก คือ $\frac{1}{6}[\frac{(6/2)!}{(2/2)!(2/2)!(2/2)!}] = 1$ จึงจะครบครับ.

[~VesCuLaR~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

สูตรที่ให้ไว้จากในลิงก์นั้น เป็นสูตรทั่วไปครับ ลองอ่านดูดี ๆ อีกครั้งนะครับ

ส่วนสูตรที่บอกว่า $\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!...n_k!}$ สูตรนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ ห.ร.ม.ของ $(n_1, n_2, ... , n_k) = 1$ เท่านั้นครับ

ซึ่งอย่างในข้อนี้ ห.ร.ม.ของ $(n_1, n_2, n_3) = (2, 2, 2) = 2$

จึงใช้ $\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!...n_k!}$ ไม่ได้ ซึ่งถ้าใช้ก็จะได้คำตอบที่ผิดครับ คำตอบจะหายไป (นับไม่ครบ)

ก็คือสูตร $\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!...n_k!}$ มาจากสูตรในลิงก์ข้างบนที่ให้ไว้นั่นเอง โดยมาจากกรณีที่ $d=1$ เท่านั้น ซึ่งจะเกิดเมื่อ $(n_1, n_2, ... , n_k) = 1$ โดย $\frac{1}{n}\cdot \frac{n!}{n_1! n_2! n_3! ... n_k!} = \frac{(n-1)!}{n_1! n_2! ... n_k!}$

อย่างเช่น ถ้าจัด A, A, A, B, B, C, C แบบนี้ ห.ร.ม.ของ (2, 2, 3) = 1 จะเข้ากรณีพิเศษ $(d=1)$ คือจะได้ จำนวนวิธี = $\frac{1}{7}[\frac{7!}{2!2!3!}] = \frac{6!}{2!2!3!}$

แต่สำหรับข้อนี้คือ A, A, B, B, C, C จะเห็นว่า ห.ร.ม.ของ $(2, 2, 2) = 2 \ne 1$ แล้วการที่ $d|2$ แสดงว่า $d = 1$ หรือ $d = 2$

ถ้าเราใช้แค่ $\frac{1}{6}[\frac{6!}{2!2!2!}] = \frac{5!}{2!2!2!} = 15$ คำตอบก็จะหายไป 1 วิธีครับ. (อันนี้คือกรณีที่ $d=1$)

ที่ถูกคือต้องรวมกรณีที่ $d=2$ อีก คือ $\frac{1}{6}[\frac{(6/2)!}{(2/2)!(2/2)!(2/2)!}] = 1$ จึงจะครบครับ.

ขอบคุณมากครับ

[แม่ให้บุญมา]

2.มีผู้ชาย 4 คน และผู้หญิง 4 คน ในจำนวนนี้มีสมชายและสมหญิงรวมอยู่ด้วยให้คนทั้งหมดมานั่งรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 8 ที่ผู้ชายและผู้หญิงสลับกันทีละ 2 คน และสมชายต้องไม่นั่งติดกับสมหญิงจะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ ผมลองคิดตามลำดับขั้นตอนข้างล่างนี้ดังต่อไปนี้ครับ

1.เริ่มจากเอาผู้ชาย วางเรียงในวงกลม สมมุติให้ สมชายเป็นหลัก จะจัดเรียงผู้ชาย3คนรอบๆสมชายได้ 3! วิธี
2.เลือกเอาผู้หญิงมา 2 คนมาวางแทรกติดกับสมชายทั้งสองข้าง เลือกได้จากหญิง 3 คน(ไม่รวมสมหญิง) และ 2 คนตามลำดับ = 3x2= 6 วิธี
3. เหลือสมหญิง กับ ผู้หญิงอีกคนหนึ่ง รวม 2 คน ที่จะวางแทรกระหว่างผู้ชายที่เหลือ 3 คนซึ่งมีที่ว่าง 2 ตำแหน่ง จึงเลือกวางได้ = 2x1= 2 วิธีี

รวม 3 ขั้นตอน = 3!ุ6x2 = 72 วิธี
เป็นคำตอบที่ถูกต้องหรือไม่ครับ

[แม่ให้บุญมา]

อ่านโจทย์ผิดไปครับ ว่าเป็นแบบ ชญชญชญชญ
ที่จริงน่าจะเป็นแบบ ชชญญชชญญ ซึงคิดตามขั้นตอนได้ดังนี้
1.จัดเรียงผู้ชาย 3 คนรอบๆสมชาย ได้ = 3!= 6 วิธี
2.เลือกผู้หญิง 1 คนจาก 3 คน(ยกเว้นสมหญิง)วางแทรกติดกับสมชาย = 3 วิธี
3.เลือก ผู้หญิง 3 คนiรวมสมหญิง วางแทรก 3 ตำแหน่งที่เหลือ ได้ = 3x2x1 = 6 วิธี

รวม = 6 x 3 x 6 = 108 วิธี

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

อ่านโจทย์ผิดไปครับ ว่าเป็นแบบ ชญชญชญชญ
ที่จริงน่าจะเป็นแบบ ชชญญชชญญ ซึงคิดตามขั้นตอนได้ดังนี้
1.จัดเรียงผู้ชาย 3 คนรอบๆสมชาย ได้ = 3!= 6 วิธี
2.เลือกผู้หญิง 1 คนจาก 3 คน(ยกเว้นสมหญิง)วางแทรกติดกับสมชาย = 3 วิธี
3.เลือก ผู้หญิง 3 คนiรวมสมหญิง วางแทรก 3 ตำแหน่งที่เหลือ ได้ = 3x2x1 = 6 วิธี

รวม = 6 x 3 x 6 = 108 วิธี

คำตอบหายไปครึ่งหนึ่งครับ

เพราะว่าตอนนำผู้หญิงไปแทรกเพื่อให้เป็นการสลับทีละ 2 จะแทรกได้ 2 แบบครับ.

แต่ถ้าเป็นการสลับทีละ 1 จะแทรกได้ 1 แบบอยู่แล้ว

ข้อด้านบนที่คิดเป็นสลับทีละ 1 จึงไม่มีปัญหา แต่ข้อนี้คำตอบจะไม่ครบครับ.

[แม่ให้บุญมา]

ขอบคุณคุณ gon ครับผิดจริงๆ ขั้นตอนน่าจะเป็น
1.จัดเรียงผู้ชาย 3 คนรอบๆสมชาย ได้ = 3!= 6 วิธี
2.1a เลือกผู้หญิง 1 คนจาก 3 คน(ยกเว้นสมหญิง)วางแทรกติดด้านซ้ายของสมชาย = 3 วิธี
2.2a เลือก ผู้หญิง 3 คนiรวมสมหญิง วางแทรก 3 ตำแหน่งที่เหลือ ได้ = 3x2x1 = 6 วิธี โดยแทรกติดกับคนแรก แล้วเว้นผู้ชายไป 2 คนค่อยแทรกอีก 2 คน

2.1b เลือกผู้หญิง 1 คนจาก 3 คน(ยกเว้นสมหญิง)วางแทรกติดด้านขวาของสมชาย = 3 วิธี
2.2b เลือก ผู้หญิง 3 คนรวมสมหญิง วางแทรก 3 ตำแหน่งที่เหลือ ได้ = 3x2x1 = 6 วิธี โดยแทรกติดกับคนแรก แล้วเว้นผู้ชายไป 2 คนค่อยแทรกอีก 2 คน

รวม ขั้นตอนที่ ข1 x ข2.1a x ข2.2a + ข1 x ข2ิ.1bx ข2.2b = 6x3x6 + 6x3x6 = 108 + 108 = 216 วิธี

[แม่ให้บุญมา]

ข้อ 3

เห็นมีผู้เฉลย ต่างกันไปมากเลยครับ ไม่รู้วิธีคิดใครถูก โดยคิดดังนี้ครับ
เริ่มจากเอาเลือกสี จาก 5 สี ทาหนึ่งคู็่ตรงกันข้าม โดยไม่ต้องเลือก เพราะเหมือนกันหมดทุกด้าน
เหลือ 4 สี่ เลือกทา 4 ด้านข้างที่เหลือเรียงเป็นวงกลม ได้ $\frac {(4-1)!}{2}$ วิธี
เพราะผลิกวงได้ไม่ต่างกันเพราะสีบนล่างเหมือนกัน หรือเทียบเหมือนสร้อยหรือพวงมาลัยรวมเป็น
$ 5\frac{(4-1)!}{2} = 15$ วิธี

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~VesCuLaR~

1.จงหาจำนวนวิธีสับเปลี่บนแบบวงกลมของอักษร A A B B C C
2.มีผู้ชาย 4 คน และผู้หญิง 4 คน ในจำนวนนี้มีสมชายและสมหญิงรวมอยู่ด้วยให้คนทั้งหมดมานั่งรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 8 ที่ผู้ชายและผู้หญิงสลับกันทีละ 2 คน และสมชายต้องไม่นั่งติดกับสมหญิงจะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี
3.ทาสี5สีต่างกันบนหน้าของลูกเต๋าหน้าละสีโดยที่ไม่ให้หน้าที่ทาสีเดียวกันอยู่ติดกันมีวิธีทาสีทั้งหมดกี่วิธี(อ.ผมเฉลย360ทำไงหว่า)

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

ข้อ 3

เห็นมีผู้เฉลย ต่างกันไปมากเลยครับ ไม่รู้วิธีคิดใครถูก โดยคิดดังนี้ครับ
เริ่มจากเอาเลือกสี จาก 5 สี ทาหนึ่งคู็่ตรงกันข้าม โดยไม่ต้องเลือก เพราะเหมือนกันหมดทุกด้าน
เหลือ 4 สี่ เลือกทา 4 ด้านข้างที่เหลือเรียงเป็นวงกลม ได้ $\frac {(4-1)!}{2}$ วิธี
เพราะผลิกวงได้ไม่ต่างกันเพราะสีบนล่างเหมือนกัน หรือเทียบเหมือนสร้อยหรือพวงมาลัยรวมเป็น
$ 5\frac{(4-1)!}{2} = 15$ วิธี

ลูกเต๋ากับลูกบาศก์ไม่เหมือนกันครับ

ลูกเต๋าแต่ละหน้า ถือว่าเป็นของที่ต่างกัน

ในขณะที่สำหรับลูกบาศก์ แต่ละหน้าจะถือว่าเป็นของที่เหมือนกัน

วิธีการคิดจะต่างกัน นั่นคือโจทย์ที่ผมเขียนสื่อไว้ในโจทย์ด้านบนใน #3 ครับ

คำถามข้อ 3 เป็นลูกเต๋าไม่ใช่ลูกบาศก์ ที่บอกว่าเหมือนกันทุกด้าน จึงไม่ถูกตั้งแต่แรกแล้วครับ.

หมายเหตุ

ปัญหาในเรื่องการนับ จะแบ่งเป็น 4 ประเภทใหญ่ ๆ ครับ.

1. การแจกของที่ต่างกัน ลงในกล่องที่ต่างกัน

2. การแจกของที่ต่างกัน ลงในกล่องที่เหมือนกัน

3. การแจกของที่เหมือนกัน ลงในกล่องที่ต่างกัน

4. การแจกของที่เหมือนกัน ลงในกล่องที่เหมือนกัน

ถ้าจำแนก 4 ข้อไม่กระจ่างชัด ก็จะสับสนและคำนวณพลาดได้ครับ.

[แม่ให้บุญมา]

อ้อเข้าใจแล้วครับ ตอบ 15 วิธี กรณีทาสีบนลูกบาศก์ ซึ่งเหมือนกันทุกด้าน
ผิดกับกรณีทาสีบนลูกเต๋าที่แต่ละด้านต่างกันไปหมด คือมีหมายเลขกำกับไม่เหมือนกันที่ทาสีได้ 360 วิธี ซึ่งต่างกันมาก

ส่วนกรณีทาสี 6 สีบนลูกบาศก์ คิดว่าเริ่มต้นทาสีอะไรก็ได้ที่ด้านหนึ่ง
และเลือกสีหนึ่งจาก 5 สีที่เหลือทาด้านตรงกันข้าม
แล้วเลือกทาสี ด้านข้าง 4 ด้านด้วยสี 4สีที่เหลือมีจำนวน (4-1)! วิธี
รวมเท่ากับ 5 * (4-1)! = 30 วิธี

[แม่ให้บุญมา]

ขอบคุณครับคุณ gon ผมเพิ่งรู้ว่าเพิ่งทำการบ้านของคุณ gon ใน #3 ข้อ 6 ไป คือลูกบาศก์ 5 สี ตอบ 15 ผมจะลองทำข้ออื่นๆต่อไปเพื่อให้กรุณาตรวจเพื่อทดสอบความเข้าใจของตัวเองนะครับ
ข้อ 4 ลูกเต๋า 4สี : 4สี x 3คู่ x 3สีx 2คู่ x 2สี x 1สี = 144 วิธี
ข้อ 5 ลูกเต๋า 3สี : 3สี x 3คู่ x 2สีx 2คู่ x 1สี x 1คู่ = 36 วิธี
ข้อ 6 ลูกบาศก์ 5สี : (เลือก 1 จาก 5สีที่จะทาเป็นคู่ด้านตรงกันข้าม = 5) x (เลือกจะทาวน 4 ด้านที่เหลือเป็น 4 สี =$\frac{(4-1)!}{2}$ ผลิกบนล่างดูไม่แตกต่างจึงหาร 2) รวม = $5 \frac{3!}{2} = 15 $ วิธี
ข้อ 7 ลูกบาศก์ 4สี : (เลือก 2 สี จาก 4สี ที่จะทาเป็นคู่ด้านตรงกันข้าม 2คู่ = ${4 \brack 2} =6$ ) x(อีก 2 สีที่เหลือ เลือกทาด้านตรงกันข้ามสลับกันได้ 2 วิธี แต่ผลิกบนเป็นล่างได้ต้องหาร 2 หรือกลับมาเหมือนกเดิม ทำให้ไม่มีความแตกต่าง) ดังนั้น จำนวนวิธี = 6
ข้อ 8 ลูกบาศก์ 3สี : 3 สี สำหรับ 3 คู่ด้านตรงกันข้ามเลือกได้วิธีเดียวหรือโดนล๊อคไว้ จำนวนวิธี = 1
ข้อ 9 4สี ทรงเหลี่ยม 4 ด้าน น่าจะหมายถึงปิรามิดฐาน 3 เหลี่ยมที่มีทุกด้านเท่ากันหมดคิดโดย ทาสีหนึ่งอะไรก็ได้ทีฐาน 3 สีที่เหลือ ทาวนไปทั้ง 3ด้าน จนวิธี = (3-1)! = 2 วิธี

ส่วน ลูกเต๋า 6 สี ได้ 6! วิธี
ส่วน ลูกบาศก์ 6 สี คิด: เลือกทาสีอะไรก็ได้ด้านบน และ 5 สีที่เหลือด้านล่าง และ 4 สีที่เหลือวนรอบ 4 ด้าน ได้รวม = 1 x 5 x (4-1)! = 5x3! = 30 วิธี

ช่วยกรุณาเช็คด้วยครับว่า คิดผิดอย่างไรบ้าง จะเอาไปติวลูกสาวกำลังจะสอบวิชานี้วันที่ 12 มีค นี้ สงสัยอาการร่อแร่กันทั้งระดับชั้น เพราะอาจารย์สอนละเอียดมาก sheet ที่แจก คลุมเนื้อหามากกว่าหนังสือของกระทรวง ว่าจะช่วยติวฟรีให้เด็กที่โรงเรียนก็ทำได้ไม่มาก เพราะวันสอบมาเร็วกว่าที่คิด ขณะที่เตรียมตัวอ่านและทำแบบฝึกหัดมาเรื่อยๆให้พร้อม

[gon]

ผมเพิ่งเห็นว่ามีคำตอบเพิ่มมานะครับ แต่คาดว่าคงไม่ได้ออกสอบ มีลูกศิษย์ผมเด็กสาธิตจุฬา ม.5 คนหนึ่ง ยังไม่ได้สอบปลายภาคเลยครับเห็นว่าครูที่โรงเรียนกำลังสอนอยู่ ซึ่งที่จริงเรื่องนี้ผมเคยสอนให้จบไปปีกว่า ๆ แล้ว ตอนนี้ว่าจะมาทวนให้อีกครั้ง

คำตอบที่คุณแม่ให้บุญมาเขียน ไม่ตรงกับที่ผมคิดหลายข้อทีเดียว ซึ่งผมเลยคิดว่าจะเรียบเรียงใหม่ทั้งหมด โดยเฉพาะลูกเต๋าก่อนดังนี้

1. มีสี 6 สี ทาสีลูกเต๋าหน้าละสี ได้กี่วิธี
ข้อนี้ชัดเจน เหมือนกับว่า มีของต่างกัน 6 สิ่ง แจกให้เด็ก 6 คน โดยแต่ละคนได้ของคนละ 1 สิ่ง ซึ่งแจกได้ (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 6! = 720 วิธี

หรือเหมือนกับว่า จำนวนฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไป B โดยที่ A = {$C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$}, B = {$1, 2, 3, 4, 5, 6$}

2. มีสี 5 สี ทาสีลูกเต๋าหน้าละสี ได้กี่วิธี ถ้าสีที่เหมือนกันห้ามอยู่หน้าติดกัน

จะต้องมีสีที่ทาบนหน้า ที่ตรงข้ามกัน 1 สี

ขั้นที่ 1. เลือกว่าสีใด ที่จะเป็นสีที่ทาบนหน้า ที่ตรงข้ามกัน เลือกได้ $\binom{5}{1}$ วิธี สมมติว่าได้สี $C_1$
ขั้นที่ 2. สีในข้อที่ 1. เลือกว่าจะไปทาหน้าคู่ใด ได้แก่ คู่ (1, 6), (2, 5), (3, 4) ทาได้ 3 วิธี
ขั้นที่ 3. สีที่เหลือ 4 สี ทาหน้า 4 หน้าที่เหลือสีละหน้าได้ 4! วิธี
ดังนั้น $\binom{5}{1} \times 3 \times 4! = 360$ วิธี

3. มีสี 4 สี ทาสีลูกเต๋าหน้าละสี ได้กี่วิธี ถ้าสีที่เหมือนกันห้ามอยู่หน้าติดกัน

จะต้องมีสีที่ทาบนหน้า ที่ตรงข้ามกัน 2 สี

ขั้นที่ 1. เลือกว่าสีใด ที่จะเป็นสีที่ทาบนหน้าที่ตรงข้ามกัน เลือกได้ $\binom{4}{2}$ วิธี สมมติว่าได้สี $C_1, C_2$
ขั้นที่ 2. สีในข้อที่ 1. คือ $C_1, C_2$ เลือกว่าจะไปทาหน้าคู่ใด ได้แก่ คู่ (1, 6), (2, 5), (3, 4) ทาได้ $3\times 2$ วิธี
ขั้นที่ 3. สีที่เหลือ 2 สี ทาหน้า 2 หน้าที่เหลือสีละหน้าได้ 2! วิธี
ดังนั้น $\binom{4}{2} \times 3 \times 2 \times 2! = 72$ วิธี

4. มีสี 3 สี ทาสีลูกเต๋าหน้าละสี ได้กี่วิธี ถ้าสีที่เหมือนกันห้ามอยู่หน้าติดกัน

จะต้องมีสีที่ทาบนหน้า ที่ตรงข้ามกัน 3 สี

สีทั้งสามสีได้แก่ $C_1, C_2, C_3$ เลือกว่าจะไปทาหน้าคู่ใด ได้แก่ คู่ (1, 6), (2, 5), (3, 4) ทาได้ $3 \times 2 \times 1$ = 6 วิธี