Prove property of element of cyclic group.

[511413]

Let $G$ be a cyclic group with $a,a' \in G$. If $o(a)=o(a')$, then $a'\in \{ka:1\leq k\leq o(a) \;\wedge\; \gcd(k,o(a))=1\}$.

[nooonuii]

เนื่องจาก $G$ เป็น cyclic group

$a'=ma$ บาง $m\in\mathbb{Z}$

สมมติ $o(a)=n$ ดังนั้น $na=e$

เขียน $m=nq+k,1\leq k\leq n$

จะได้ว่า $a'=ma=(nq+k)a=ka$

จากนั้นใช้ความจริงที่ว่า

$o(a')=\dfrac{n}{(n,k)}$

เพื่อสรุปว่า $(n,k)=1$

[511413]

ขอบคุณครับ

[511413]

ผมสงสัยว่า ท.บ. ดังกล่าว ถ้าเปลี่ยน statement จาก then เป็น iff ยังจริงอยู่ไหมครับ
อยากได้คำยืนยัน (ไม่ต้องพิสูจน์นะครับ)
ขอบคุณครับ

[kongp]

ในการพิสุจน์ข้างบน q หายไปไหนครับ ถึงสรุปว่า a' = ka ได้ ต้อง a' = q + ka ไม่ใช่หรือ ? และต้องคิดถึงอะไรตอนพิสูจน์ ระบบจำนวน ?

[511413]

Since $o(a)=n$, $na=0$, this implies $a′=ma=(nq+k)a=nqa+ka=ka$ as desired.

[kongp]

สำหรับผมคณิตศาสตร์คือการให้เหตุผลที่ไม่สามารถขัดเเย้งได้คือสัจพจน์อย่างเป็นขั้นตอน(เด็กโอลิมปิกผมเห็นมาเยอะที่ละขั้นตอน ก็เป็นสิทธิ์ของเค้าหากคำนึงถึงความเหมาะสมของเนื้อหาด้วย สาเหตุนี่ละมั้งครับที่ดร.ไพศาลโดนดูถูก(ที่ได้เหรียญทองแดง) ดังคำว่าทุกคนมีจุดอ่อนอยู่ในตัว อย่างความแก่ของอายุก็ใช่ครับ) และที่สามารถอธิบายด้วยวิชาที่แตกต่างกันได้ ผมเข้าใจว่า na = e สังเกตุด้วยได้ว่าหากสรุป a' >= ka ผิดไหมครับ ?

เพราะถ้าเกิดอยากพิสูจน์ให้ได้ผลลัพท์ ต้องชี้ด้วยว่าสมมติให้ด้วยว่าในที่นี้ q = 0 ยากไปหรือครับ (งงตรงเวลาจะตีความโดยใช้โมเดลที่ไม่ใช่ระบบจำนวนครับ หรือในระบบจำนวนก็ตามนะครับ)

คนเขียนตำราระดับโลก ต่างจากนักเขียนทั่วไป อาจจะตรงนี้ ที่มักจะไม่เปิดช่องให้มีคนแย้งกลับ

[kongp]

ผมไม่ได้ติดใจกับปัญหานี้มากมายนะครับ แต่คิดเหมือนคนที่จบศึกษาศาสตร์คณิตศาสตร์ ไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์สาขาคณิตศาสตร์กะมัง บางท่านอาจจะมองว่าง่ายจึงละ ผมเองก็มักจะอ่านหนังสือแบบ Skim จนเคยตัวชอบมองหนังสือผ่านๆ ก็อาจจะว่ามีอะไรบางอย่างตรงนี้ จึงคล้ายๆ กัน ในมุมมองของผม

[kongp]

น่าจะสนใจการพิสูจน์แบบสมาชิกที่เป็น 2 มิติ ขึ้นไป ด้วยนะครับ สำหรับนักพิสูจน์ ที่อยู่ในสายคณิตศาสตรบริสุทธ์ และจะดีหากสามารถพิสูจน์เป็นกราฟเรขาคณิตสำหรับข้อนี้

[511413]

ขอบคุณครับ สำหรับคำแนะนำดีๆ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ 511413

ผมสงสัยว่า ท.บ. ดังกล่าว ถ้าเปลี่ยน statement จาก then เป็น iff ยังจริงอยู่ไหมครับ
อยากได้คำยืนยัน (ไม่ต้องพิสูจน์นะครับ)
ขอบคุณครับ

ใช่ครับ อันนี้ค่อนข้างชัดกว่าอีกขา