โจทย์ปัญหา

[cracker007]

1) ถ้า $1+\frac{5^m}{1+5^m}+\frac{5^{2m}}{1+5^{2m}}+...+\frac{5^{nm}}{1+5^{nm}}+...$ = $626$
จงหาค่าของ $1+5+5^2+5^3+...+5^m$

2) กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $n < 2013$ โดย n เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุด
และสอดคล้องกับ $6^{2n+2}-36$ หารด้วย $49$ ลงตัว จงหาค่า $n$

3) ในระนาบ $xy$ จุด $\acute F (-5,0)$ , จุด $F (5,0)$ และ จุด $P (x,y)$
โดย $\overline{\acute FP}$ + $\overline{FP}$ = 26 และ $\overline{FP}$ มีค่าโตที่สุด
จงหา $\overline{FP}$ และจุดพิกัดของ $P$

4) ในระนาบ $xy$ จุด $\acute F (-2,0)$ , จุด $F (2,0)$ และ จุด $Q (x,y)$
จงหาสมการรูปแบบมาตรฐาน ที่สอดคล้องกับ $r$ = {$(x,y)$ | $x,y \in \mathbb{R}$ และ $\overline{FQ}$ $-$ $\overline{\acute FQ} = 2 $}
//สมการรูปความสัมพันธ์ ระหว่าง จุด $F$,$\acute F$ และ $Q$ ที่ทำให้ $\overline{FQ}$ $-$ $\overline{\acute FQ} = 2 $

[Thgx0312555]

2. $6^{2n+2}-36 = 36(6^{2n}-1) = 36(36^n-1)=36(35)(36^{n-1}+36^{n-2}+\cdots + 1)$

ดังนั้น $49 \ | \ 6^{2n+2}-36$ ก็ต่อเมื่อ $7 \ | \ 36^{n-1}+36^{n-2}+\cdots + 1$
ซึ่ง $36^{n-1}+36^{n-2}+\cdots + 1 \equiv 1^{n-1}+1^{n-2}+\cdots + 1 \equiv n \pmod 7$

ดังนั้น $49 \ | \ 6^{2n+2}-36$ ก็ต่อเมื่อ $7 \ | \ n$
$n$ ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $2013$ คือ $2009$ ครับ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cracker007

1) ถ้า $1+\frac{5^m}{1+5^m}+\frac{5^{2m}}{1+5^{2m}}+...+\frac{5^{nm}}{1+5^{nm}}+...$ = $626$
จงหาค่าของ $1+5+5^2+5^3+...+5^m$

ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวก(ซึ่งจากที่เขียนมาในคำถามก็ควรเป็นเต็มบวก ไม่งั้น $1+5+5^2+5^3+...+5^m$ ก็ไม่มีความหมาย)
อนุกรมอนันต์ $1+\frac{5^m}{1+5^m}+\frac{5^{2m}}{1+5^{2m}}+...+\frac{5^{nm}}{1+5^{nm}}+...$ อันนี้ลู่ออกครับ เพราะ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5^{nm}}{1+5^{nm}} =1 \not= 0$ (หมายความว่า พจน์ที่มีค่าเข้าใกล้ 1 แต่ละพจน์ บวกกันไปเรื่อยๆมันก็วิ่งไปเกิน 626 แน่นอน)

ส่วนข้อ 4 เซตนี้คือ นิยามแบบ locus line ของสมการ hyperbola ลองไปหาข้อมูลเพิ่มดูนะครับ

[armpakorn]

ข้อ 4

ไฮเพอร์โบลาร์นิยามว่า เป็นเซตของจุดที่ผลต่างระหว่างจุดนั้นกับจุดทั้งสองที่เรียกว่าจุดโฟกัส มีค่าคงตัวเท่ากับความยาวของแกนตามขวาง(2a)

ดังนั้นจากโจทย์ ผลต่างดังกล่าว = 2 และ a = 1
และระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลาง(0,0)กับโฟกัส = 2 = c

c^2 = a^2 + b^2
4=1+b^2
b^2=3

รูปทั่วไปของไฮเพอร์โบลา:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
แทนค่าได้
x^2 - y^2/3 = 1