อยากได้คำตอบของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติชุดนี้ครับ ใครมีเอกลักษณ์แปลกๆสวยๆลงเพิ่มได้ครับ

shymaan · #1 01 มกราคม 2011, 06:29

1.($\sin1^\circ$)($\sin 2^\circ$)($\sin 3^\circ$)...($\sin 89^\circ$)=?

2.($\sin1^\circ$)($\sin 3^\circ$)($\sin 5^\circ$)...($\sin 89^\circ$)=?

3.($\sin2^\circ$)($\sin 4^\circ$)($\sin 6^\circ$)...($\sin 88^\circ$)=?

4.($\cos1^\circ$)($\cos2^\circ$)($\cos3^\circ$)...($\cos89^\circ$)=?

5.($\cos1^\circ$)($\cos3^\circ$)($\cos5^\circ$)...($\cos89^\circ$)=?

6.($\cos2^\circ$)($\cos4^\circ$)($\cos6^\circ$)...($\cos88^\circ$)=?

7.($\sin1^\circ$)$^2$+($\sin2^\circ$)$^2$+($\sin3^\circ$)$^2$+...($\sin90^\circ$)$^2$=?

8.($\sin1^\circ$)$^3$+($\sin2^\circ$)$^3$+($\sin3^\circ$)$^3$+...($\sin90^\circ$)$^3$=?

9.($\cos1^\circ$)$^2$+($\cos2^\circ$)$^2$+($\cos3^\circ$)$^2$+...+($\cos90^\circ$)$^2$=?

10.($\cos1^\circ$)$^3$+($\cos2^\circ$)$^3$+($\cos3^\circ$)$^3$+...+($\cos90^\circ$)$^3$=?

กิตติ · #2 01 มกราคม 2011, 11:36

อ้างอิง:

7.($\sin1^\circ$)$^2$+($\sin2^\circ$)$^2$+($\sin3^\circ$)$^2$+...($\sin90^\circ$)$^2$=?

น่าจะแปลงเป็นมุม$cos$แล้วจับเข้าตามเอากลักษณ์ $sin^2\theta+cos^2\theta=1$
$\sin1^\circ =\cos89^\circ$
$\sin2^\circ =\cos88^\circ$
$\sin3^\circ =\cos87^\circ$
ไปจนถึง
$\sin43^\circ =\cos47^\circ$
$\sin44^\circ =\cos46^\circ$
ได้ทั้งหมด $44$ คู่

$\sin^21^0 +\sin^22^\circ +\sin ^23^\circ+...\sin^290^\circ = 44+\sin^290^\circ +\sin^245^\circ $
$=45+\frac{1}{2} =\frac{91}{2} $

กิตติ · #3 01 มกราคม 2011, 11:42

เช่นเดียวกับข้อ9

อ้างอิง:

9.$\cos^21^\circ+\cos^22^\circ+\cos^23^\circ+...+\cos^290^\circ$=?

$\cos^21^\circ+\cos^22^\circ+\cos^23^\circ+...+\cos^290^\circ=44+\cos^245^\circ+\cos^290^\circ$

$=44+\frac{1}{2}+0 $

$=\frac{89}{2} $

กิตติ · #4 01 มกราคม 2011, 11:55

อ้างอิง:

8.$\sin^31^0 +\sin^32^\circ +\sin ^33^\circ+...\sin^390^\circ = $?

ข้อ8..ก็น่าจะจับคู่ให้ถูกก่อนแล้วค่อยใช้เรื่องผลบวกกำลังสาม
$a^3+a^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(1-ab)$
$2\sin A\cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B)$
ถ้า$A+B=\frac{\pi}{2} $
$\sin^3A +\cos^3B=(\sin A +\cos B)(\frac{1}{2}- \sin (A-B))$
เดี๋ยวมาคิดต่อ

GhostembeR · #5 01 มกราคม 2011, 12:22

ข้อ 7 กับข้อ 9 นี้เห็นบ่อยมาก
ลองดูข้อนี้ (sin1∘)2+(sin2∘)2+(sin3∘)2+...(sin360∘)2=?

กิตติ · #6 01 มกราคม 2011, 14:11

อ้างอิง:

2.($\sin1^\circ$)($\sin 3^\circ$)($\sin 5^\circ$)...($\sin 89^\circ$)=?

ข้อนี้ข้อสอบPAT1ที่ผ่านมาถามว่า
($\sin1^\circ$)($\sin 3^\circ$)($\sin 5^\circ$)...($\sin 89^\circ$)= $\frac{1}{2^n}$ จงหาค่าของ $4n$
ข้อนี้คุณlek2554เคยเแลยแล้ว

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$sin1^0sin3^0sin5^0...sin89^0$
=$\frac{sin1^0sin2^0sin3^0sin4^0...sin89^0}{sin2^0sin4^0sin6^0...sin88^0} $
=$\frac{sin1^0cos1^0sin2^0cos2^0...sin44^0cos44^0sin45^0}{sin2^0sin4^0sin6^0...sin88^0}$ (เปลี่ยน $sin89^0$ เป็น $cos1^0$ ย้อนกลับจากหลังไปหน้าเรื่อย ๆ ไป)
=$\frac{1}{2^{44}}\cdot \frac{(2sin1^0cos1^0)(2sin2^0cos2^0)...(2sin44^0cos44^0)(sin45^0)}{sin2^0sin4^0sin6^0...sin88^0}$
=$\frac{1}{2^{44}}\cdot \frac{(sin2^0sin4^0sin6^0...sin88^0)(sin45^0)}{sin2^0sin4^0sin6^0...sin88^0}$
=$\frac{1}{2^{44}}\cdot sin45^0$
=$\frac{1}{2^{44.5}}$
$\therefore n=44.5,4n=178$
หมายเหตุ พิมพ์ยังไม่คล่อง เดี๋ยวเป็นตัวเล็กเดี๋ยวเป็นตัวใหญ่ ต้องไปอ่านวิธีพิมพ์เพิ่มอีกแล้ว

($\sin1^\circ$)($\sin 3^\circ$)($\sin 5^\circ$)...($\sin 89^\circ$)= $\frac{1}{2^{44}\sqrt{2} } $

Amankris · #7 01 มกราคม 2011, 14:54

ข้อ $1).,2).,3).,4).,5).,6).$

ลองใช้เอกลักษณ์นี้

Hide

$\sin\dfrac{\pi}{n}\cdot\sin\dfrac{2\pi}{n}\cdot\sin\dfrac{3\pi}{n}\cdot\ldots\cdot\sin\dfrac{(n-1)\pi}{n}=n\cdot2^{1-n}$

กิตติ · #8 01 มกราคม 2011, 19:01

ข้อ1...ผมลองหาเฉลยในกูเกิลเจอตามภาพนี้

สำหรับข้ออื่นก็แค่แปลงมุม
4.$\cos1^0\cos2^0....\cos88^0\cos89^0= \sin1^0\sin2^0\sin3^0....\sin88^0\sin89^0$

ข้อ5 มีค่าเท่ากับข้อ 2
ข้อ6 มีค่าเท่ากับข้อ 3