Algebra

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

บรรทัดที่สองมายังไงเอ่ย

อันนี้ผมก็ไม่ค่อยมั่นใจอ่ะครับ ผมคิดว่า 2 ก้อนนั้นน่ะมันเท่ากับ 0

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

อันนี้ผมก็ไม่ค่อยมั่นใจอ่ะครับ ผมคิดว่า 2 ก้อนนั้นน่ะมันเท่ากับ 0

อ่าว ซะงั้น >_<

ลองทำใหม่นะครับ ไม่ยากหรอก

[BLACK-Dragon]

ขนาดไม่ยากของคุณ Amankris ก็เล่นซะผมงงไปนานพอสมควร
ลองเช็คให้ใหม่หน่อยนะครับ

พอคูณออกมาก็จะได้
$-25x^2+50xy-25y^2=2xy-2x-2y+2$
$25x^2-48xy+25y^2-2x-2y+2=0$
$25x^2-48xy+25y^2 -2x-2y+2\leqslant 25y^2-48y^2+25y^-2y-2y+2$

$=2(y-1)^2$
$2(y-1)^2=0$
$y-1=0$
$y=1$

แทนค่าไป $x=1$
$(x,y)=(1,1)$
ใช่ไหมครับอันนี้สุดความสามารถจริงถ้าผิดช่วยชี้แนะด้วยครับ
ขอบคุณครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$25x^2-48xy+25y^2+2xy-2x-2y+2\leqslant 25y^2-48y^2+25y^-2y-2y+2$

ผมไม่แน่ใจบรรทัดนี้นะครับ

คาดว่าหมายถึง $25x^2-48xy+25y^2+2xy-2x-2y+2\leqslant 25y^2-48y^2+25y^2-2y-2y+2$

พอจะอธิบายได้ไหมครับว่าเปลี่ยน $x$ เป็น $y$ ได้อย่างไร (จริงๆขาด $2xy$ ไปตัวนึงนะ)



คือจริงๆข้อนี้ผมจัดรูปให้แล้วนะครับ แต่ก็ทำได้หลายทางละนะ

ลูกเล่นยังอยู่ที่ $a^2+b^2=0$ เหมือนเดิมนะครับ

hint

$u=x-1$ , $v=y-1$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ผมไม่แน่ใจบรรทัดนี้นะครับ

คาดว่าหมายถึง $25x^2-48xy+25y^2+2xy-2x-2y+2\leqslant 25y^2-48y^2+25y^2-2y-2y+2$

พอจะอธิบายได้ไหมครับว่าเปลี่ยน $x$ เป็น $y$ ได้อย่างไร (จริงๆขาด $2xy$ ไปตัวนึงนะ)



คือจริงๆข้อนี้ผมจัดรูปให้แล้วนะครับ แต่ก็ทำได้หลายทางละนะ

ลูกเล่นยังอยู่ที่ $a^2+b^2=0$ เหมือนเดิมนะครับ

hint

$u=x-1$ , $v=y-1$

ตอนแรกผมคิดว่า(เดาเอาเองเลย) ถ้าสมมุติเราเปลี่ยน x ให้เป็น y แล้ว
ค่าของมันน่าจะมากกว่าหรือเท่ากับอันเก่าน่ะครับ คุณ Amankris ช่วยสอนผมตั้งพื้นฐานได้ไหมครับ
ฐานของผมยังไม่แน่นพอ หรือพอจะมี บทความหรือหนังสือพวกนี้ไหมครับ

[Amankris]

เป็นเทคนิคจัดรูปอีกแบบหนึ่งน่ะครับ

หลักการคือพยายามจัดให้อยู่ในรูป กำลังสองสมบูรณ์บวกกันน่ะครับ

เช่น $xy+x+y=x^2+y^2+1$

จัดได้เป็น $0=(x-1)^2+(y-1)^2+(x-y)^2$

เราก็จะสรุปได้ว่าแต่ละวงเล็บเป็นศูนย์ ก็แก้สมการหา $(x,y)$ ได้

ข้อนี้ก็คล้ายๆกัน

[Influenza_Mathematics]

ข้อ 1 $24(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 = 0$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ลองดูนะครับ



ข้อ 2. $\beta ).\ \ \ 9x^2+7y^2+3=4xy+7x+5y$

$$7(x-\frac{1}{2})^2+ 5(y-\frac{1}{2})^2 + 2(x-y)^2 = 0$$

ข้อนี้ผมลองผิดลองถูกมานาน อยากทราบเทคนิคของการทำข้อนี้หน่อยครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

เป็นเทคนิคจัดรูปอีกแบบหนึ่งน่ะครับ

หลักการคือพยายามจัดให้อยู่ในรูป กำลังสองสมบูรณ์บวกกันน่ะครับ

เช่น $xy+x+y=x^2+y^2+1$

จัดได้เป็น $0=(x-1)^2+(y-1)^2+(x-y)^2$

เราก็จะสรุปได้ว่าแต่ละวงเล็บเป็นศูนย์ ก็แก้สมการหา $(x,y)$ ได้

ข้อนี้ก็คล้ายๆกัน

ขออีกได้ไหมครับเริ่มจะพอได้(นิดๆ)ครับ

[Influenza_Mathematics]

Find $(x,y)$
$$7x^2+8y^2-6xy = 8x+20y -24$$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

Find $(x,y)$
$$7x^2+8y^2-6xy = 8x+20y -24$$

ได้งี้ถูกไหมครับ
$7x^2+8y^2-6xy = 8x+20y -24$
$7x^2+8y^2-6xy-8x-20y+24=0$
$3(x-y)^2+4(x-1)^2+5(y-2)^2=0$

แล้วทำไม $x\not= y$ อ่ะครับ
ขออีกได้ไหมครับ พอจะได้ไหมครับขอบคุณครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

$\displaystyle 7(x-\frac{1}{2})^2+ 5(y-\frac{1}{2})^2 + 2(x-y)^2 = 0$
ข้อนี้ผมลองผิดลองถูกมานาน อยากทราบเทคนิคของการทำข้อนี้หน่อยครับ

ก็ไม่มีอะไรเป็นพิเศษนะครับ ทำบ่อยๆแล้วจะคล่อง

---------------------------------------------------------------------------------------

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$3(x-y)^2+4(x-1)^2+5(y-2)^2=0$

แล้วทำไม $x\not= y$ อ่ะครับ

เป็นตัวอย่างของโจทย์ที่ยังมีข้อผิดพลาดครับ ต้องขออภัย คุณ Influenza_Mathematics ด้วยครับ

---------------------------------------------------------------------------------------

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ขออีกได้ไหมครับ พอจะได้ไหมครับขอบคุณครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

หา $(x,y)$ ที่เป็นจำนวนจริง

ข้อ $\gamma ).\ \ \ 27x^2+12y^2+3\leqslant 6xy+17x+2y$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ลองดูนะครับ

หา $(x,y)$ ที่เป็นจำนวนจริง


ข้อ $\gamma ).\ \ \ 27x^2+12y^2+3\leqslant 6xy+17x+2y$

เลขไม่ค่อยลงตัวเลยครับ ขอhint หน่อยครับ
ลองดูหน่อยครับ
$27x^2+12y^2-6xy-17x+2y+3\leqslant 0$
$3(x-y)^2+24x^2+9y^2-17x+2y+3\leqslant 0$
$3(x-y)^2+3(2\sqrt{2}x-\frac{17}{12\sqrt{2}})^2+(3y+\frac{1}{3})^2\leqslant \frac{889}{288}$

แล้วไปไงต่ออ่ะครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ก็ไม่มีอะไรเป็นพิเศษนะครับ ทำบ่อยๆแล้วจะคล่อง

---------------------------------------------------------------------------------------

เป็นตัวอย่างของโจทย์ที่ยังมีข้อผิดพลาดครับ ต้องขออภัย คุณ Influenza_Mathematics ด้วยครับ

---------------------------------------------------------------------------------------

ผมตั้งใจเองครับ ที่ตั้งโจทย์แบบนี้

[Influenza_Mathematics]

พีชคณิตที่กำลังทำ (โจทย์ครอบคลุมดี)
1. พีชคณิตคิดเพื่อชาติ
2. Titu andressu ที่เป็น algebra 100 ต้นๆ problems อะไรซักอย่าง
3. JBMO problems