[ด่วนมากครับ] proof the number of irr factors counted with multiplicity

[511413]

theorem 10 ในหน้า 4 ครับ ทำไมถึงเพียงพอที่จะพิสูจน์แค่ claim แล้วก็ได้ theorem 10 เลย
นั่นคือ ให้ a(x) แทน f(x) ใน Theorem 10 และ b(x) แทน f(x) ใน Theorem 10 แล้วพิสูจน์ว่า c(x) (ผลคูณของ a(x) กับ b(x)) แทน f(x) ใน Theorem 10 ได้

ผมงงมากอาจารย์บอกว่าการพิสูจน์ด้งกล่าวไม่ใช่การพิสูจน์ข้อความของ f(x)

ผมเลยส่งอีเมล์ไปถามผู้เขียน เค้าตอบมาว่า Theorem 8 proves the main claim for polynomials which have no repeated roots. Lemma 9, shows that there is a factorization of a general reciprocal polynomials to reciprocal polynomials which have no repeated roots. Now, you need to use an induction to prove theorem 10, and the claim is basically the base of our inductive proof.

เค้าบอกว่า theorem 10 proof by induction ผมสงสัยว่า induction บนตัวแปรอะไร P(n) คืออะไร แล้ว claim เป็น indutive step ยังไง

ผมต้อง present seminar วันจันทร์นี้แล้ว ยังไงขอรบกวนท่านผู้รู้อีกซักครั้งนะครับ ถือว่าเป็นวิทยาทาน

ปล. ผมแนบไฟล์ pdf สั้นๆ statement theorem ดังกล่าวตรับ
ขอบคุณครับ

[nongtum]

เอาคร่าวๆนะครับ

Assume that $f=\prod f_i^{p_i}$ where $f,f_i$ satisfy the hypotheses.
We can first consider the case $f=f_1^{p_1}f_2$ then use induction on $p_1$ (resp. multiplicity of $f_i$) and apply thm8+9.
Check the induction base as told, then induction ("adding factors" ) will give the general cases.

ปล. ถ้าพิมพ์เอง อย่าลืมเช็ควงเล็บของ srm แต่ละตัวด้วย

[511413]

nongtum ครับแล้วการ claimใน theorem 10 อยู่ในส่วนไหนของการ induction อะครับ

[nongtum]

#3
จากบรรทัดสุดท้ายในสไลด์ (ได้ฐาน) ตัวทบ.คือผลจาก induction ตาม #2 ครับ

[511413]

nongtum ครับ ลองทำสอง cases ให้ดูสั้นๆหน่อยสิครีบ
case f=f_1f_2
case f=f_1^{2}f_2 อ้าง lemma 9 ยังไงครับ

[nongtum]

#5
การพิสูจน์ตัวแรก เราเริ่มที่ผลคูณของสองพหุนามที่สอดคล้องเงื่อนไขของทบ.8 (ซึ่งทำให้ได้ Congruence) และบทนำ 9
ถ้าทำอันแรกได้ มอง $f_1^2f_2=(f_1f_2)\cdot f_2$ ก่อนอ้างบทนำ 9 ถัดจากนั้นคือ induction (ถ้าผมมองไม่ผิดนะครับ)

[511413]

ผมพิสูจน์อันแรกได้แล้ว แต่ผมไม่เข้าใจว่า มอง $f_1^2f_2=(f_1f_2)\dot f_2$, $f_1^2f_2\neq (f_1f_2)\dot f_2$ นี่ครับ แล้วอ้างบทนำ 9 ยังไงหรือครับ

[nongtum]

#7
ตรงนั้นผมพิมพ์ผิดครับ มันต้องเป็น $f_1^2f_2=(f_1f_2)f_1$ ต่างหาก พิมพ์เพลินไปนิด ขออภัยๆ
จากบทนำ 9 มันจะบอกว่าแต่ละเทอมสอดคล้องกับทบ. 8 แล้วก็ย้อนมาใช้ที่เราแสดงไว้ก่อนหน้าได้ครับ

[511413]

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำดีๆครับ ผมสัมมนาผ่านเรียบร้อยแล้วครับ