G-metric space

[511413]

Definition Let $X\neq \emptyset$. Suppose that $G: X \times X \times X \rightarrow \mathbb{R}^+$ satisfies:
a) $G(x,y,z) = 0\Longleftrightarrow x = y = z$;
b) $\forall x, y \in X, G(x,x, y)>0$, with $x \neq y$;
c) $\forall x, y, z \in X, G(x,x,y) \leq G(x,y, z)$, with $y \neq z$;
d) $G(x,y,z) = G(x, z,y) = G(y, z,x) = \dots$,
e) $\forall x, y, z, a \in X, G(x,y,z) \leq G(x,a,a) + G(a,y, z)$.
Then $G$ is called a $G$-metric on $X$ and $(X,G)$ is called a $G$-metric space.

Proposition Let $X$ be a $G$-metric space. Then the following are equivalent:
1) $\{x_n\}$ is $G$-convergent to $x$.
2) $G(x_n,x_n,x)\rightarrow 0$ as $n\rightarrow \infty$.
3) $G(x_n,x,x)\rightarrow 0$ as $n\rightarrow \infty$.
4) $G(x_n,x_m,x)\rightarrow 0$ as $n,m\rightarrow \infty$.


Lemma Let $X$ be a $G$-metric space. Then
$\{x_n\}$ is $G$-Cauchy sequence $\Longleftrightarrow$ $G(x_n,x_m,x_l) \rightarrow 0$ as $n,m,l \rightarrow \infty$.

ถามว่า ถ้า $G(x_n,x_m,x_m)\rightarrow 0$ ที่ซึ่ง $m>n\geq 1$ ทำไมถึงได้เลยว่า $\{x_n\}$ is $G$-Cauchy sequence
ผมงงมากๆครับ ใช้ Lemma ยังไงอะครับ มันมี $x_l$ ด้วยอะ ใครรู้ช่วยบอกทีครับ
ปล. เป็นข้อความใน paper อะครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[nooonuii]

ขอนิยามของ G-convergence กับ G-Cauchy sequence ก่อนครับ

[511413]

Definition A sequence $\{x_n\}$ in a $G$-metric space $X$ is:
(i) a $G$-Cauchy sequence if, for any $e$ > 0, there is an $n_0 \in N$ (the set of natural numbers) such that for all $n, m,l \geq n_0$,$G(x_n,x_m,x_l) < e$,
(ii) a $G$-convergent sequence if, for any $e > 0$, there is an $x \in X$ and an $n_0 \in N$, such that for all $n, m \geq n_0$, $G(x,x_n,x_m) < e$.

[nooonuii]

ผมคง Hint ให้แค่นี้

จากข้อ $e)$

$G(x_n,x_m,x_l)\leq G(x_n,x_m,x_m)+G(x_m,x_m,x_l)$

[511413]

สมมติ $G(x_n,x_m,x_m)\rightarrow 0$ จะแสดงว่า $G(x_n,x_m,x_l)\rightarrow 0$ โดยข้อ e) จะได้ว่า $G(x_n,x_m,x_l)\leq G(x_n,x_m,x_m)+G(x_m,x_m,x_l)$
แบ่ง $l$ เป็นสามกรณี คือ
$l=n : G(x_m,x_m,x_l)=G(x_m,x_m,x_n)$ จะได้ $G(x_n,x_m,x_l)\rightarrow 0$
$l>n :$ โดยสมมติฐาน จะได้ $G(x_m,x_m,x_l)\rightarrow 0$ นั่นคือ $G(x_n,x_m,x_l)\rightarrow 0$
$l<n : $ กรณีนี้แสดงยังไงอะครับ ช่วยบอกทีครับ

[511413]

ผมงงว่า metric space กับ cone metric space อันไหน imply อันไหนอะครับ (มันอ้างกันได้หรือป่าวครับ) จริงหรือป่าวที่ cone metric space implies metric space

ปล. ไม่เคยเรียน real analysis กับ topology มาเลย แต่ต้องมาแกะเปเปอร์ทางด้านนี้มันยากสำหรับผมจริงๆครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ 511413

สมมติ $G(x_n,x_m,x_m)\rightarrow 0$ จะแสดงว่า $G(x_n,x_m,x_l)\rightarrow 0$ โดยข้อ e) จะได้ว่า $G(x_n,x_m,x_l)\leq G(x_n,x_m,x_m)+G(x_m,x_m,x_l)$
แบ่ง $l$ เป็นสามกรณี คือ
$l=n : G(x_m,x_m,x_l)=G(x_m,x_m,x_n)$ จะได้ $G(x_n,x_m,x_l)\rightarrow 0$
$l>n :$ โดยสมมติฐาน จะได้ $G(x_m,x_m,x_l)\rightarrow 0$ นั่นคือ $G(x_n,x_m,x_l)\rightarrow 0$
$l<n : $ กรณีนี้แสดงยังไงอะครับ ช่วยบอกทีครับ

$l$ ไม่ได้อิงกับ $n$ ครับ มันอิงกับ $n_0$ ลองไล่นิยามให้เข้าใจครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ 511413

ผมงงว่า metric space กับ cone metric space อันไหน imply อันไหนอะครับ (มันอ้างกันได้หรือป่าวครับ) จริงหรือป่าวที่ cone metric space implies metric space

ปล. ไม่เคยเรียน real analysis กับ topology มาเลย แต่ต้องมาแกะเปเปอร์ทางด้านนี้มันยากสำหรับผมจริงๆครับ

ผมยังไม่รู้จัก cone metric space ครับ คงต้องขอดูนิยามก่อน

[511413]

Definition Let $E$ is a Banach space and let $M$ be a non empty set. Suppose that the mapping
$d : M \times M\rightarrow E$ satisfies:
1) $0 < d(x, y)$ for all $x, y \in M$ and $d(x, y) = 0$ if and only if $x = y$;
2) $d(x, y) = d(y, x)$ for all $x, y \in M$;
3) $d(x, y) \leq d(x, z) + d(y, z)$ for all $x, y, z \in M$.
Then, $d$ is called a cone metric on $M$ and $(M, d)$ is called a cone metric space.

ถ้าเรารู้ว่า $\mathbb{R}^+\in E$ จะได้ว่า cone metric space implies metric space
$\mathbb{R}^+\in E$ หรือป่าวครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ 511413

Definition Let $E$ is a Banach space and let $M$ be a non empty set. Suppose that the mapping
$d : M \times M\rightarrow E$ satisfies:
1) $0 < d(x, y)$ for all $x, y \in M$ and $d(x, y) = 0$ if and only if $x = y$;
2) $d(x, y) = d(y, x)$ for all $x, y \in M$;
3) $d(x, y) \leq d(x, z) + d(y, z)$ for all $x, y, z \in M$.
Then, $d$ is called a cone metric on $M$ and $(M, d)$ is called a cone metric space.

ถ้าเรารู้ว่า $\mathbb{R}^+\in E$ จะได้ว่า cone metric space implies metric space
$\mathbb{R}^+\in E$ หรือป่าวครับ

ลองอ่านดูแล้วยังมีอีกหลายจุดที่ผมคิดว่ายังไม่ make sense ครับ

1. $d(x,y)>0$ ทุก $x\neq y$ ใช่มั้ยครับ

และที่สำคัญที่สุดคือ $E$ ต้องมี ordering structure ด้วย จึงจะพูดถึงเครื่องหมาย $<,\leq$ ได้

หรือว่า ทั้งสามข้อนิยามแบบนี้ครับ

1) $0 < \|d(x, y)\|$ for all $x\neq y \in M$ and $d(x, y) = 0$ if and only if $x = y$;
2) $d(x, y) = d(y, x)$ for all $x, y \in M$;
3) $\|d(x, y)\| \leq \|d(x, z)\| + \|d(y, z)\|$ for all $x, y, z \in M$.

[kongp]

วิธีตามที่ได้อธิบายนี้น่าจะเพิ่มดีกรีออฟฟรีดอมให้มากกว่านี้ได้นะครับ จุดอ่อนหนึ่งของวิชาเซตคือยืดยาวอาจเพื่อเพิ่มคุณสมบัติ และตรวจว่าในที่นี้เหมาะสมเพียงใด