free abelian group

[mercedesbenz]

Let $C_i$ be an infinite cyclic group in additive notation generated by $a_i$for all $i\in I$. Prove that $\sum_{i\in I}C_i$is a free abelian group having $\{v_{i}|i\in I\}$as a basis, where for all $i\in I$,
$v_{i}=\{x_j\}_{j\in i}$ where $x_j=a_i ; i=j$ and $x_j=0 ; i\neq j$

Poof: We want to show that
$\sum_{i\in I}C_i=<\{v_{i}|i\in I\}>$.
Consider $<\{v_{i}|i\in I\}>=\{n_{i_1}v_{i_1}+n_{i_2}v_{i_2}+\cdots+
n_{i_k}v_{i_k}:i\in I,n_{i_j}\in \mathbb{Z},1\leq j \leq k\}$ (It's wrong or right)
Clearly $\{v_{i}|i\in I\}>\subset \sum_{i\in I}C_i $.
then I want to show $\sum_{i\in I}C_i \subset <\{v_{i}|i\in I\}>$.
Please help show next step.....
thank you for any help.

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

Proof: We want to show that
$\sum_{i\in I}C_i=<\{v_{i}|i\in I\}>$.
Consider $<\{v_{i}|i\in I\}>=\{n_{i_1}v_{i_1}+n_{i_2}v_{i_2}+\cdots+
n_{i_k}v_{i_k}:i\in I,n_{i_j}\in \mathbb{Z},1\leq j \leq k\}$ (It's wrong or right)

ถูกครับ

Clearly $\{v_{i}|i\in I\}>\subset \sum_{i\in I}C_i $.
then I want to show $\sum_{i\in I}C_i \subset <\{v_{i}|i\in I\}>$.
Please help show next step.....
thank you for any help.

Let $x\in\sum_{i\in I}C_i$. Then $x=\sum_{k=1}^nb_{i_k}$ for some $b_{i_k}\in C_{i_k}$
Since $C_{i_k}$ is generated by $a_{i_k}$, $b_{i_k}=...$

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถูกครับ



Let $x\in\sum_{i\in I}C_i$. Then $x=\sum_{k=1}^nb_{i_k}$ for some $b_{i_k}\in C_{i_k}$
Since $C_{i_k}$ is generated by $a_{i_k}$, $b_{i_k}=...$

You make me sure that $b_{i_k}=d_{i_k}a_{i_k}$ for some $d_{i_k}\in \mathbb{Z}$,
i.e. $x=\sum_{k=1}^n d_{i_k}a_{i_k}$.
Since $v_{i_l}=a_{i_l}$ where $i_l=j_l$ and $v_{i_l}=0$ where $i_l \neq j_l , 1\leq l \leq n$
Wheter I conclude that $x\in \{n_{i_1}v_{i_1}+n_{i_2}v_{i_2}+\cdots+ n_{i_n}v_{i_n}:i\in I,n_{i_j}\in \mathbb{Z},1\leq j \leq n\}$ (Please help me check because I'm not sure)

Finally, To see that does it is linearly independent.
Let $v_{i_1}, v_{i_2},\ldots,v_{i_n}$ such that $n_{i_1}v_{i_1}+n_{i_2}v_{i_2}+\cdots+ n_{i_n}v_{i_n}=0$
(0 means (0,0,0,...,0) n component ?)
Thus, $n_{i_1}a_{i_1}+n_{i_2}a_{i_2}+\cdots+ n_{i_n}a_{i_n}=0$
It follows that $n_{i_l}a_{i_l}=0$ for all $i\in I, 1\leq l\leq n$.
But $a_{i_l}\neq 0$, (0 means the identity of $C_{i_l}$)then $n_{i_l}=0$ for all $i\in I, 1\leq l\leq n$.
Please help me check that where is it wrong . Tomorrow I must present this my homework, thanks....

[nooonuii]

จริงๆแล้ว $b_i$ ถ้าเขียนให้ถูกจริงๆต้องเป็น

$f:I\to \prod C_i$ โดยที่ $f(i)=b_i$ และ $f(j)=0$ ทุก $j\neq i$

เพราะว่าเรากำลังอยู่ในโลกของ weak direct product ครับ ซึ่งปกติแล้วเราจะมอง $C_i$ ให้เป็น component หนึ่งใน $\prod C_i$ แต่เพื่อความสะดวกเรามักจะเขียนโดยละรายละเอียดส่วนนี้ไว้แล้วมอง weak direct product ให้เป็น เซตของ linear combination(formal sum) ของสมาชิกใน $C_i$ แทนการเขียนแบบฟังก์ชัน ซึ่งจะทำให้เราใช้การบวกได้เหมือนกับการบวกที่เราใช้กันอยู่ทั่วไปใน usual sense

[nooonuii]

พูดถึงเรื่อง $0$ อันนี้เป็นข้อตกลงครับว่าเราจะใช้สัญลักษณ์นี้แทนสมาชิกเอกลักษณ์ของ abelian group คราวนี้มันก็ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังมองเนื้อหาในโลกของ abelian group แบบไหนครับ
ถ้ามองใน $\mathbb{Z}$, $0$ ก็คือเลขศูนย์ที่เรารู้จักในจำนวนเต็ม
ถ้ามองใน cyclic group $C_i$, $0$ ก็เป็นเอกลักษณ์ของ $C_i$
แต่ถ้ามองใน $\sum_{i\in I}C_i$, $0$ จะหมายถึงฟังก์ชันศูนย์ซึ่งส่งสมาชิก $i$ ไปที่ $0_i$(เอกลักษณ์ของ $C_i$)

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากครับพี่ nooonuii คราวนี้ก็รอดตายเพราะพี่ nooonuii อีกแย้วววว

[mercedesbenz]

This is true in my sense, but I want the reason to explain.
Let $a$ be a generator of infinite cyclic group $C$
(over additive notation). If $na=e$where $e$ is the identity of $C$.Prove that $n$ must be only $e$.

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

This is true in my sense, but I want the reason to explain.
Let $a$ be a generator of infinite cyclic group $C$
(over additive notation). If $na=e$where $e$ is the identity of $C$.Prove that $n$ must be only $e$.

ผมว่า $n=0$ นะครับ
ถ้า $a$ เป็น generator ของ infinte cyclic group แสดงว่า $a$ มี infinite order
ถ้า $n\neq 0$ จะได้ว่า $a$ และ $a^{-1}$ มี finite order ซึ่งขัดแย้งครับ

[mercedesbenz]

$n=0$ จริงๆครับ ขอบคุณมากครับพี่ nooonuii