ย้อนความหลังกับ พาราด็อกซ์ แบบพี่ TOP

[Αρχιμήδης]

คำถามพาราด็อกซ์เกี่ยวกับความน่าจะเป็น

สมมติว่า คุณชนะการแข่งขันรายการหนึ่ง คุณจะได้รับของรางวัล 1 ชิ้น จากของรางวัล 2 ชิ้นซึ่งใส่กล่องเอาไว้อย่างดี หลังจากคุณเลือกของรางวัล 1 ชิ้นแล้ว เจ้าของรายการได้บอกกับคุณว่า ในของรางวัลทั้ง 2 ชิ้น จะมีอยู่ชิ้นหนึ่ง มีมูลค่าเป็น 2 เท่าของอีกชิ้นหนึ่ง และให้โอกาสคุณในการ เปลี่ยนของรางวัล คุณจึงได้ปรึกษากับเพื่อนของคุณ และเขาให้เหตุผลว่าคุณควรจะเปลี่ยน ไปเลือกของรางวัลอีกชิ้นหนึ่ง เนื่องจาก
สมมติว่า ตอนนี้ของรางวัลที่คุณเลือกมีมูลค่า $x$ ดังนั้น หากคุณเปลี่ยนไปเลือกของรางวัลอีกชิ้นหนึ่ง
ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้ของรางวัลมีมูลค่า $\frac{x}{2}$ คือ $\frac{1}{2}$
ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้ของรางวัลมีมูลค่า $2x$ คือ $\frac{1}{2}$
นั่นคือ หากคุณเปลี่ยนไปเลือกของรางวัลอีกชิ้นหนึ่ง คุณจะได้ของรางวัลที่มูลค่าโดยเฉลี่ยเป็น
$(\frac{1}{2})(\frac{x}{2}) + (\frac{1}{2})(2x) = (\frac{5x}{4})$ ซึ่งมีมูลค่ามากกว่าการที่คุณไม่เปลี่ยนของรางวัล 25%

คุณคิดว่าควรเชื่อเพื่อนของคุณหรือไม่ ? จงให้เหตุผลประกอบที่สมเหตุสมผล (อย่าตอบแค่ว่า เชื่อ หรือ ไม่เชื่อ)

ที่มา http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=227 07:11
โดย พี่ TOP ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง ของเราชาว MC

ผมเห็นว่าบอร์ดที่โพสคำถามนี้ว่าง(หรือนานเกินไปก็ไม่รู้) ยังไม่มีความเห็นจากบรรดาจอมยุทธทั้งหลาย ฉะนั้นจึงได้ปลุกคำถามนี้ขึ้นมาอีกครั้งเพื่อให้ พี่น้องชาว MC แสดงวรยุทธครับ
หรือถ้าคำถามต่างๆ ในอดีตยังไม่ได้คำตอบและน่าสนใจผมก็จะขออาสา และขอให้ทุกๆคน ช่วยกันนำคำถามเหล่านั้นมาโพสในบอร์ดแห่งนี้
[ผมไม่ได้เก่งคณิตศาสตร์อะไรมากมาย แต่ผมรักคณิตศาสตร์ และขอศึกษาคณิตศาสตร์ให้เข้าใจให้มากกว่านี้แลัวจะมาตอบคำถามให้เก่งๆ เหมือนจอมยุทธทั้งหลายใน MC นี้ล่ะกันครับ]

[khlongez]

ไม่เชื่อค่ะ

หากใช้หลักการคิดแบบเดียวกับที่เพื่อนบอกมาในทางกลับกัน

โดยสมมติว่ารางวัลที่อยู่ในกล่องที่เราไม่ได้เลือก มีมูลค่า Y

ดังนั้น ความน่าจะเป็นทีกล่องที่เราเลือกจะมีมูลค่า2Yคือ1/2
และ ความน่าจะเป็นทีกล่องที่เราเลือกจะมีมูลค่าY/2คือ1/2

นั่นคือถ้าเราไม่เปลี่ยนไปเลือกอีกกล่องหนึ่ง
เราก็จะได้รางวัลที่มีมูลค่าโดยเฉลี่ยเป็น (1/2)(2Y)+(1/2)(Y/2) = 5Y/4
ซึ่งมากกว่าการที่เราเปลี่ยนของรางวัลอยู่ 25% เหมือนกัน

แบบนี้ก็ไม่ควรเปลี่ยนกล่องถึงจะดีกว่าสิ

จะเห็นว่ามันขัดแย้งกันเองใช่มั้ยคะ


เพราะงั้นเราคิดว่า วิธีคิดตามที่ คุณเพื่อนเขาบอกมา มันน่าจะผิด

ถ้าจะคิดให้ถูกจริงๆเราว่าควรจะเป็นแบบนี้มากกว่า

สมมติว่ารางวัลในกล่องนึงมีมูลค่า x และอีกกล่องนึงมีมูลค่า 2x

เราสุ่มเลือกมาหนึ่งกล่อง

ความน่าจะเป็นที่รางวัลในกล่องที่เราไม่ได้เลือกมีมูลค่า x คือ 1/2
ความน่าจะเป็นที่รางวัลในกล่องที่เราไม่ได้เลือกมีมูลค่า 2x คือ 1/2

ถ้าเราเปลี่ยนกล่อง เราจะได้รางวัลที่มีมูลค่าโดยเฉลี่ยเป็น (1/2)x+(1/2)(2x) = 3x/2
แต่ถ้าเราไม่เปล่ยนกล่อง เราจะได้รางวัลที่มีมูลค่าโดยเฉลี่ยเป็น (1/2)x+(1/2)(2x) = 3x/2

นั่นคือไม่ว่าเราจะเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยน ค่าคาดหวังของมูลค่าของรางวัลที่จะได้ก็คือ3x/2 เท่ากัน