ช่วยพิสูจน์เรื่อง topology ด้วยครับ ยังไม่ได้คำตอบเลย

[แมท เทพ]

1.Let (X,T) be the first countable space and x∈X and A⊆X . Then A is closed if and only if for all {xn} in A, if {xn} converge to x∈X ,then x∈A .
2.
Let (X,T) be a first countable space and A⊆X and x∈X .Then A is open set in X if and oly if for any {xn} in X, if {xn} converges to x∈A , then there existห positive integer N such that {xn}∈A for all n≥N .

อธิบายวิธีพิมในนี้ให้ด้วยนะครับ ขอบคุณคร้าบ

[kongp]

ขอออกความเห็นเพิ่งรู้มาว่าวิชา Topology นี้ คล้ายกับวิชา Morphology ลักษณะนามธรรมระดับเดียวกัน อันแรก 1-3 มิติ อันหลัง 2 มิิติ เท่านั้น แต่ก็ซับซ้อนไม่เบา

[ครูนะ]

เนื่องจาก A เป็นสับเซตของสเปซนับได้ ดังนั้น A เป็นปริภูมิเมตริกซ์

ข้อ 1

ขากลับเห็นชัด เนื่องจากทุกซับเซตอนันต์ของ A มีจุดลิมิตอยู่ใน A จึงทำให้ A เป็นเซตปิด

ขาไป เนื่องจาก A เป็นเซตปิด ทำให้ A บรรจุจุดทั้งหมดของจุดลิมิต เนื่องจากทุกลำดับใน A ลู่เข้าสู่ x

ดังนั้น x เป็นจุดลิมิตใน A เพราะฉะนั้น x อยู่ใน A

ข้อ 2

ขาไป เห็นชัด เนื่องจาก ทุกลำดับใน A เป็นจุดภายในของ A

ขากลับ แสดงเพียงว่า x เป็นจุดลิมิตใน A แต่ x ไม่อยู่ใน A ก็จะได้ A เป็นเซตเปิด


ยังไงรบกวนผู้รู้ช่วยตรวจสอบครับ ว่าที่ผมสรุปถูกต้องไหมครับ

ถ้าถูกผมจะได้เขียน Proof แบบเต็ม Post อีกทีครับ

[Mr.Com]

ยังไม่ถูกนะครับ
first countable space อาจจะไม่เป็น metric space ก็ได้

สำหรับคำถามทั้ง 2 ข้อนั้น เป็นทฤษฎีบทพื้นๆ ทาง topology ถ้าพิสูจน์เองไม่ได้ พยายามหาในหนังสือ ก็น่าจะเจอแล้วครับ

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ

ปริภูมิเมตริกซ์เป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิโทโพโลยี

ผมไม่รู้ว่า first countable space มีสมบัติอย่างไร

แต่ถ้าอยู่บนปริภูมิโทโพโลยี การเขียนพิสูจน์จะต่างออกไป

ลำพังแค่พิสูจน์ธรรมดาบนปริภูมิ R ผมก็แย่แล้ว

ถ้าเป็นปริภูมิโทโพโลยี ผมไม่ได้แน่นอน (ความรู้ไปไม่ถึง)

[kongp]

Mr.Com เรื่องเป็นหรือไม่เป็นนี้ อาจมองได้คนละแบบ ถูกผิดที่ไม่ถึงตายก็มี ประมาณนั้น อาจเป็น Paradox ก็โชคดีที่ค้นพบครับ