โจทย์จากโอลิมปิก

ให้ AและB คือจุด (10,3)และ(5,5)ตามลำดับ ถ้า Pและ Q เป็นจุดใดๆบนแกน X และแกน Y ตามลำดับ แล้ว AP+PQ+BQ
มีค่าน้อยสุดเป็นเท่าไร
อีกข้อครับ
x, y, z เป็นจำนวนเต็ม และ
x^3+y^3+z^3=x+y+z=3 จงหา (x,y,z) ทั้งหมด

ข้อ 1. สมมติจุด P(x, 0 ) และ Q(0, Y )
AP ยาวเท่ากับ root [ (x-10)^2 + 9 ]
QP ยาวเท่ากับ root[ (x^2 + y^2) ]
QB ยาวเท่ากับ root[ (y-5)^2 + 25 ]
เห็นได้ชัดเจนว่าค่า x, y ที่ทำให้ค่าใน root น้อยสุด
คือ x = 0 หรือ 10
และ y = 0 หรือ 5
จึงมี 4 กรณี คือ
(x, y ) = (0,0) (0,5) (10,0) และ (10,5)
กรณีที่ 1 แทนค่าจะได้ root (109) + 0 + root(50)
ประมาณ 10.กว่า ๆ + 7 0 กว่า ๆ = 17. กว่า ๆ
กรณีที่ 2 ได้ root(109) + root(25) + root(25)
ได้เท่ากับ 10.กว่า ๆ + 5 + 5 = 20.กว่า ๆ
กรณีที่ 3 ได้ root(81) + root(100) + root(50) =
9 + 10 + 7.0กว่า ๆ = 26.กว่า ๆ
กรณีที่ 4 ได้ root(81) + root(125) + root(25) =
9 + 8.5กว่า ๆ + 5 = 22.5 กว่า ๆ
ดังนั้นกรณีที่ 1 ได้น้อยสุด

พิจารณา
( x+ y + z)^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)^2 z + 3(x+y)z^2 + z^3 = 27
= x^3 + y^3 +z^3 + 3xy(x+y) + 3(x+y)^2 z + 3(x+y)z^2 = 27
แทนค่า x^3 +y^3 +z^3 = 3 ได้
3xy(x+y) + 3(x+y)^2 z + 3(x+y)z^2 = 24
3 หาร ได้
xy(x+y) + (x+y)^2 z + (x+y)z^2 = 8
เนื่องจาก x + y + z = 3 ดังนั้น x+y = 3 - z
แทนค่า x + y ลงไปจะได้
xy(3 - z) +(3-z)^2 .z + (3-z)z^2 = 8
กระจาย 2 พจน์หลังจะได้
xy(3 -z ) + 9z - 6z^2 + z^3 + 3z^2 - z^3 = 8
จัดใหม่ได้
3z^2 - 9z + (z- 3 )xy = -8
หรือ 3z(z- 3) + (z- 3 )xy = -8
ดึงตัวร่วมจะได้
( z - 3)( 3z +xy) = -8 ****************
พิจารณา 2 วงเล็บคูณกันและเป็นจำนวนเต็มทั้งสองวงเล็บด้วย
เพราะเนื่องจาก x,y และ z ต่างก็เป็นจำนวนเต็ม
พิจารณาค่าของ -8
= (1)(-8) = (-8)(1) = (-1)(8) = (8)(-1) = (2)(-4) = (-4)(2) = (-2)(4) = (4)(-2)
จะพบว่าเป็นไปได้ 8 กรณี
จะอธิบายให้ดูค่อนข้างละเอียด 1 กรณี
กรณีที่ 1 คือ
z - 3 = 1และ 3z + xy = -8
ดังนั้น z = 4และ xy = -20
เนื่องจาก x + y = 3 -z แล้ว x + y = -1
แก้สมการ 2 สมการ xy = -8 กับ x +y = -1
จะได้ (x ,y ) = (-5, 4) = (4, -5)
( note. ไม่ต้องนั่งแก้จริง ๆ หรอก แค่นั่งมองก้รู้
เนื่องจาก เราหาเฉพาะ x,y ที่เป้นจำนวนเต็ม
ดังนั้นกรณีนั้จะได้
(x ,y ,z ) = (-5, 4 ,4 )และ (4, -5, 4 )
เช่นกันกับกรณีที่ 2 จะได้ (4, 4, -5 )
กรณีที่ 3,4,5, 6 จะได้ว่าไม่มี x,y ที่เป็นจำนวนเต็ม
กรณีที่ 7 จะได้ (1, 1, 1)
และกรณที่ 8 ไม่มี x,y ที่เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้นคำตอบคือ
(x, y, z) = (-5, 4, 4) , (4, -5, 4 ) , (4, 4, -5 ) และ (1, 1, 1)
Ans

แต่ผมว่าข้อ 1 ไม่น่าจะถูกนะครับ จุด P กับ Q ไม่ควรจะเป็นจุดเดียวกันนะครับ ไม่อย่างนั้นก็เป็นคำถามที่ไม่ค่อยจะดีเท่าไร
สมมติให้ จุด P(x,0) และ Q(0,y) จะได้กำลังสองของระยะทางแต่ละช่วงเป็น
(x-10)^2 + 9
(y-5)^2 + 25
x^2 + y^2
ซึ่งเราจะพบว่ามันแปรผันตามค่าของรากที่สองของมัน ดังนั้นเราอาจพิจาณาหาค่ากำลังสองน้อยสุดแทนค่ารากที่สองของมันก็ได้ นั่นคือเมื่อเรารวมค่าทั้งหมดเข้าด้วยกันเป็น
(x-10)^2 + 9 + (y-5)^2 + 25 + x^2 + y^2
= 2x^2 - 20x + 2y^2 - 10y +159
จัดรูปใหม่จะได้
= 2(x-5)^2 + 2(y-5/2)^2 +193/2
ดังนั้นค่ากำลังสองนี้จะน้อยสุดเมื่อ x = 5 , y = 2.5
ซึ่งก็จะได้ระยะทางน้อยสุดเป็น 17.013 แต่หากใช้ PและQ เป็นจุดเดียวกันจะได้ 17.5114 ครับ

แต่ผลจากการคำนวณโดยใช้ numerical method จะพบว่าในข้อ 1 นั้นควรจะได้ว่าฟังก์ชันนี้มีค่าต่ำสุดคือ 17 โดยจะพบว่าได้ค่าเป็น 17.00000000010249 ณ ตำแหน่ง P(4.37501264224541,0) และ Q(0,2.33336273704338)

ข้อ 2 น่าจะตอบ 17 นะครับ
โดยใช้การสะท้อนจุด A , B
โดยสะท้อนจุด A เป็น A'(10,-3)
สะท้อนจุด B เป็น B'(-5,5)
จะได้ว่า |AP|=|A'P| และ |BQ|=|B'Q|
ดังนั้น |AP|+|PQ|+|BQ| ที่สั้นที่สุดคือ |A'B'|
ซึ่งยาวเท่ากับ root(15^2+8^2)=17

ครับ. ข้อ 1. คิดผิดไป
น้องปู่คิดถูกต้องแล้วครับ.
วันนั้นพี่ก็คิดอยู่เหมือนกันเรื่องการสะท้อน
แต่ไม่ได้ทำโจทย์แบบนี้หลายปีแล้วครับ.
เลยรีปสรุปแบบผิด ๆ ไป