ข้อสอบ WYMIC 2005-2006

[roseisred01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ข้อ 12

hint:
$m+34-(m-174)=204$......1
$m+34-(m-174)=(\sqrt{m-174}+\sqrt{m+34})(\sqrt{m+34}-\sqrt{m-174})$
$(\sqrt{m+34}-\sqrt{m-174})=n$............2
1/2

[banker]

ให้ $A = \sqrt{m-174} , \ B = \sqrt{m +34} $

$A + B = n$ .......................(1)


$(A+B)(A-B) = n(A-B)$

$A^2 - B^2 = n(A-B)$

$(m-174) - (m+34) = n(A-B)$

$-208 = n(A-B)$


$208 = n(B - A)$


$B - A = \frac{208}{n}$ .................(2)


(1)+(2) $ \ \ \ \ \ 2B = n + \frac{208}{n} $


$B = \frac{n}{2} + \frac{104}{n}$


$\sqrt{m+34} = \frac{n}{2} + \frac{104}{n}$


$m + 34 = ( \frac{n}{2} + \frac{104}{n})^2 $


$m = ( \frac{n}{2} + \frac{104}{n})^2 - 34 $


โจทย์แค่ถามว่า n มีค่าสูงสุดได้เท่าไร

พิจารณาสมการสุดท้าย m จะเป็นจำนวนเต็มบวกได้ ก็ต่อเมื่อ $n \leqslant 104$

เพราะถ้า $ n > 104 $ แล้ว $( \frac{n}{2} + \frac{104}{n})^2 $ จะไม่เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น $n$ มีค่าสูงสุดได้เท่ากับ 104 เท่านั้น ANS.

[Thamma]

รบกวนผู้รู้ช่วยชี้แนะข้อนี้ด้วยนะคะ

ขอบคุณค่ะ

[artty60]

คุณThamma ลองจัดรูปอนุกรมในวงเล็บดูครับจะได้

$a=(9n-81)(\dfrac{10}{9})^n+81$ โดยที่ $a\in \mathbf{I}$

$\therefore a_{max}= ?$

[Thamma]

ขอบพระคุณ คุณ Artty60 มากค่ะ

$R = 1 + \left(\frac{10}{9}\right) + \left(\frac{10}{9}\right)^2 + … + \left(\frac{10}{9}\right)^{n-1}$ .....( 1 )

$\frac{10}{9}\cdot R = \left(\frac{10}{9}\right) + \left(\frac{10}{9}\right)^2 + … + \left(\frac{10}{9}\right)^n \quad$.....( 2 )

( 2 ) – ( 1 ) : $\frac{R}{9} = \left(\frac{10}{9}\right)^n – 1$

$R = 9\;\left(\frac{10}{9}\right)^n – 9$

$a = 9\; [ \;n \;\left(\frac{10}{9}\right)^n – R\;]\;$

$a = (9 n – 81) \left(\frac{10}{9}\right)^n + 81$

a จะเป็นจำนวนเต็ม เมื่อพจน์แรกเป็น 0 ซึ่งจะเกิดเมื่อ n = 9 และ a มากที่สุด = 81