มาเล่นกัน!! version ม.ต้น

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ผมได้ 2 อ่าครับ

ข้อต่อไปนะครับ

ให้ $F_n$ แทนจำนวนในลำดับฟิโบนักชีตัวที่ n จงหาค่าของ $(F_{2009})^2-F_{2008}\times F_{2010}$

ความรู้ผมไม่ถึงเรื่อง F

ถ้าต้องทำในห้องสอบ ขอสมมุติง่ายๆแบบ common sense ก็แล้วกัน (คิดมากแล้วปวดหัว)

ให้ $F_{2009} = x $ ก็จะได้

$(F_{2009})^2-F_{2008}\times F_{2010} \ = \ x^2 -(x-1)(x+1) = x^2 - (x^2-1) = 1 $

ดังนั้น $(F_{2009})^2-F_{2008}\times F_{2010} \ = 1 $

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ให้ $F_{2009} = x $ ก็จะได้

$(F_{2009})^2-F_{2008}\times F_{2010} \ = \ x^2 -(x-1)(x+1) = x^2 - (x^2-1) = 1 $

ดังนั้น $(F_{2009})^2-F_{2008}\times F_{2010} \ = 1 $

คำตอบถูกแล้วครับ แต่ผมว่าวิธีทำ มันทแม่งๆอ่ะครับ

พี่ banker ทราบได้อย่างไรว่า $F_{2008}=F_{2009}-1$ และ $F_{2010}=F_{2009}+1$ อ่ะครับ

[Ne[S]zA]

ให้ $F_n$ เป็นลำดับฟีโบนักชีจะได้ว่า
$$F_n^2-F_{n-1}\times F_{n+1}=(-1)^{n+1}$$
โดย $n\in \mathbb{Z} ^+,n>1$
พิสูจน์
จาก $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n)$
ได้ว่า $F_{n-1}=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1})$ และ $F_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1})$
ให้ $\phi _1^n =(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$ และ $\phi _2^n=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$
จะได้ $F_n^2=\frac{1}{5}(\phi _1^{2n}-2\phi _1^n \phi _2^n+\phi _2^{2n})$
และ $F_{n-1}\times F_{n+1}=\frac{1}{5}(\phi _1^{2n}+\phi _2^{2n}-\phi _1^n \phi _2^n(\frac{\phi _2}{\phi _1}+\frac{\phi _1}{\phi _2}))$
แต่ $\frac{\phi _2}{\phi _1}+\frac{\phi _1}{\phi _2}=-3$
จะได้ว่า $F_{n-1}\times F_{n+1}=\frac{1}{5}(\phi _1^{2n}+\phi _2^{2n}+3\phi _1^n \phi _2^n)$
ดังนั้น $F_n^2-F_{n-1}\times F_{n+1}=\frac{1}{5}(-5\phi _1^n \phi _2^n)=(-1)\phi _1^n \phi _2^n$
แต่ $\phi _1^n \phi _2^n=(-1)^n$
เพราะฉะนั้น $F_n^2-F_{n-1}\times F_{n+1}=(-1)(-1)^n=(-1)^{n+1}$ โดย $n\in \mathbb{Z} ^+,n>1$
ผิดผลาดประการใดขออภัยด้วยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

คำตอบถูกแล้วครับ แต่ผมว่าวิธีทำ มันทแม่งๆอ่ะครับ

พี่ banker ทราบได้อย่างไรว่า $F_{2008}=F_{2009}-1$ และ $F_{2010}=F_{2009}+1$ อ่ะครับ

ไม่ทแม่งหรอกครับ เขาเรียกมั่วครับ มั่วในห้องสอบไง

[Ne[S]zA]

อีกสักข้อครับเพิ่งคิดสดๆร้อนๆ
กำหนดให้ $a,b,c,d$ เป็นรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนของสมการพหุนาม $x^4-3x^3+2x^2-3x+4$
จงหาค่าของ $\dfrac{(a^2b^2+a^2+b^2+1)(c^2d^2+c^2+d^2+1)}{(a+b+c+d)((a+d)(b+c)+ad+bc)(abcd)}$
หมายเหตุ
$i=\sqrt{-1}$ และ $i^2=-1$

[-InnoXenT-]

จากสมการ $x^4-3x^3+2x^2-3x+4$ จะได้ว่า

$a+b+c+d = -(\frac{-3}{1}) = 3$
$(a+d)(b+c)+ad+bc= ab+ac+ad+bc+bd+cd = +\frac{2}{1} = 2$
$abcd = 4$

กำหนด$P(x) = x^4-3x^3+2x^2-3x+4 = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$

สังเกตว่า $P(-x) = x^4+3x^3+2x^2+3x+4 = (-x-a)(-x-b)(-x-c)(-x-d) = (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)$

$P(x)\cdot P(-x) = (x-a^2)(x-b^2)(x-c^2)(x-d^2)$

แทนค่า $x = -1$

$P(-1)\cdot P(1) = (-1-a^2)(-1-b^2)(-1-c^2)(-1-d^2) = (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)$

$P(1)=1$
$P(-1)=13$

$(a^2b^2+a^2+b^2+1)(c^2d^2+c^2+d^2+1) = (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1) = 13\cdot 1 =13$

ดังนั้น $\frac{(a^2b^2+a^2+b^2+1)(c^2d^2+c^2+d^2+1)}{(a+b+c+d)((a+d)(b+c)+ad+bc)(abcd)} = \frac{13}{3\cdot 2\cdot 4} = \frac{13}{24}$

ถ้าผมคิดเลขไม่ผิด มันก็น่าจะถูก ^o^

กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ $0$ และ $x^2+xy+y^2 = 0$ จงหาค่า $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553}$

ปล. เวอร์ชั่น ม.ปลาย ไม่มีใครเล่นเลย T T

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ $0$ และ $x^2+xy+y^2 = 0$ จงหาค่า $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553}$

จากโจทย์จะได้ $x=\frac{-y\pm \sqrt{-3y^2}}{2}$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนจริง

ฉะนั้น หาค่า $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553}$ ไม่ได้
( ถ้าเป็นม.ต้นก็หยุดแค่นี้ แต่ถ้าม.ปลายก็ค่อยไปกันต่อ )

ข้อต่อไป

ในรูปสามเหลี่ยม ABC จุด D เป็นจุดบน AC ที่ทำให้มุม BDA กาง 45 องศา และทำให้ BD แบ่งครึ่ง AC
ถ้ามุม A เป็น 3 เท่าของมุม C จงหาขนาดของมุม A

[Ne[S]zA]

ข้อรากสมการพหุนามอะครับที่ผมคิดไว้นะครับ
ให้ $P(x)=x^4-3x^3+2x^2-3x+4=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$
แทน $P(i)=i^4-3i^3+2i^2-3i+4=3=(i-a)(i-b)(i-c)(i-d)\_\_\_\_\_(1)$
และ $P(-i)=(-i)^4-3(-i)^3+2(-i)^2-3(-i)+4=3=(i+a)(i+b)(i+c)(i+d)\_\_\_\_\_(2)$
$(1)\times (2) ;$
$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=9$ อ่ะครับ
ผมคิดเลขผิดตรงไหนหรือเปล่า
ปล.ข้อของคุณ InnoXent เหมือนข้อสอบที่ค่ายสอวน.ศูนย์ผมเลยครับ

[LightLucifer]

มั่วได้ 135/2 อ่ะครับไม่มั่นใจ -_-

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ $0$ และ $x^2+xy+y^2 = 0$ จงหาค่า $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553}$

ได้ $-2$ หรือเปล่าครับ
ปล.มั่วนะครับ ใช้เดอมัวร์ด้วยเหอๆๆ
หรือทำแบบนี้ครับ
จาก $x^2+xy+y^2=0$
เอา $x-y$ คูณ จะได้ $x^3-y^3=0$ แต่ $x,y\in R$ ดังนั้น $x=y$
แทนค่าได้ $(\frac{1}{2})^{2553}+(\frac{1}{2})^{2553}=\frac{1}{2^{2552}}$ ????

[LightLucifer]

#205
ไม่น่าได้เพราะถ้า $x=y$ นั่นคือ $x-y=0$ ดังนั้นคูณ $x-y$ เข้าไปไม่น่าจะได้นะครับ ไม่มั่นใจ-_-

[nooonuii]

$x^2+xy+y^2=0$

$(x+\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{3y^2}{4}=0$

$x=y=0$

[-InnoXenT-]

เอ่อออ ขอโทษครับ - -a

ผมพิมพ์โจทย์ผิด มันเป็นจำนวนเชิงซ้อนครับ

[Ne[S]zA]

ขอเฉลยของคุณ -InnoXenT- ละกันครับ
จาก $x^2+xy+y^2=0$ ได้ว่า $\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$
กรณีืที่ 1 $\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i$
จะได้ $\frac{x}{y}+1=\frac{x+y}{y}=\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i$
ดังนั้น $\frac{y}{x+y}=\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i$
เปลี่ยนเป็นเชิงขั้วได้ $\frac{y}{x+y}=\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}$
โดย เดอร์มัวร์ ได้ว่า $(z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta))$
$\therefore (\frac{y}{x+y})^{2553}=cis (\frac{5\pi}{3}\times 2553)=cis \pi =-1$
ในทำนองเดียวกันได้ว่า
$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=cis \frac{\pi}{3}$
จะได้ $(\frac{x}{x+y})^{2553}=cis(\frac{\pi}{3}\times 2553)=cis \pi =-1$
ดังนั้น $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553}=-2$
กรณีที่ 2 $\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i$
เช่นเดียวกับกรณีที่ 1 ได้คำตอบเหมือนกัน
เพราะฉะนั้น $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553}=-2$
หมายเหตุ$cis \theta = \cos \theta + i\sin \theta$

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ขอเฉลยของคุณ -InnoXenT- ละกันครับ
จาก $x^2+xy+y^2=0$ ได้ว่า $\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$
กรณีืที่ 1 $\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i$
จะได้ $\frac{x}{y}+1=\frac{x+y}{y}=\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i$
ดังนั้น $\frac{y}{x+y}=\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i$
เปลี่ยนเป็นเชิงขั้วได้ $\frac{y}{x+y}=\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}$
โดย เดอร์มัวร์ ได้ว่า $(z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta))$
$\therefore (\frac{y}{x+y})^{2553}=cis (\frac{5\pi}{3}\times 2553)=cis \pi =-1$
ในทำนองเดียวกันได้ว่า
$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=cis \frac{\pi}{3}$
จะได้ $(\frac{x}{x+y})^{2553}=cis(\frac{\pi}{3}\times 2553)=cis \pi =-1$
ดังนั้น $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553}=-2$
กรณีที่ 2 $\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i$
เช่นเดียวกับกรณีที่ 1 ได้คำตอบเหมือนกัน
เพราะฉะนั้น $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553}=-2$
หมายเหตุ$cis \theta = \cos \theta + i\sin \theta$

ความจริงแล้ว ไม่ต้องหาคำตอบก็ได้ครับ เพราะ

จาก $x^2+xy+y^2 = 0$ จะรู้ว่า

$-\frac{x}{y} = \frac{y}{x+y}$ และ $x^3 = y^3$ ดังนั้น $x^{2553} = y^{2553}$

ดังนั้น $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553} = 2(\frac{y}{x+y})^{2553}$

$= 2(-\frac{x}{y})^{2553}$

$= -2\frac{x^{2553}}{y^{2553}}$ แต่เนื่องจาก $x^{2553} = y^{2553}$

$= -2$