เกี่ยวกับ ลิมิต ครับ

[PoseidonX]

1.โจทย์: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{5x+9}-3}{x}$$

ทำไมผมลองหาด้วย 2 วิธีนี้ แต่มันได้คำตอบไม่เหมือนกันครับ (ถ้าผิดตรงไหนรบกวนช่วยพี่ๆ อธิบายด้วยครับ เพราะเพิ่งเรียนไปได้นิดเดียว)

วิธีที่ 1:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{5x+9}-3}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{5x+9}-3)(\sqrt{5x+9}+3)}{x(\sqrt{5x+9}+3)} = \lim_{x \to 0} \frac{5x}{x(\sqrt{5x+9}+3)} = \lim_{x \to 0} \frac{5}{\sqrt{5x+9}+3} = \frac{5}{6}$$

วิธีที่ 2 (แบบโลปิตาล):
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{5x+9}-3}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2\sqrt{5x+9}} = \frac{1}{6}$$


2.อยากทราบว่าวิธีทำของโจทย์ 2 ข้อนี้ ต้องทำต่างกันยังไงครับ
$$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}$$
กับ
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}$$

3.อยากทราบวิธีคิดข้อนี้ครับ (ถ้ามีทั้งวิธีปกติ และ วิธีแบบ โลปิตาลจะดีมากเลยครับ
$$\lim_{h \to 0} \frac{[(x+h)^2+1]-(x^2+1)}{h}$$


ขอบคุณล่วงหน้าคับ

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoseidonX

วิธีที่ 2 (แบบโลปิตาล):
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{5x+9}-3}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2\sqrt{5x+9}} = \frac{1}{6}$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{5x+9}-3}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{5}{2\sqrt{5x+9}} = \frac{5}{6}$$

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoseidonX

2.อยากทราบว่าวิธีทำของโจทย์ 2 ข้อนี้ ต้องทำต่างกันยังไงครับ
$$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}$$
กับ
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}$$

ถ้า $x\rightarrow 2^-$ ลิมิตจะหาค่าไม่ได้ครับ

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoseidonX

3.อยากทราบวิธีคิดข้อนี้ครับ (ถ้ามีทั้งวิธีปกติ และ วิธีแบบ โลปิตาลจะดีมากเลยครับ
$$\lim_{h \to 0} \frac{[(x+h)^2+1]-(x^2+1)}{h}$$

วิธีที่ 1
\[
\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {\left( {x + h} \right)^2 + 1} \right] - \left( {x^2 + 1} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {x^2 + 2xh + h^2 + 1} \right) - \left( {x^2 + 1} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h\left( {2x + h} \right)}}{h} = 2x
\]
วิธีที่ 2
\[
\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {\left( {x + h} \right)^2 + 1} \right] - \left( {x^2 + 1} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{d\left( {\left[ {\left( {x + h} \right)^2 + 1} \right] - \left( {x^2 + 1} \right)} \right)}}{{dh}}}}{{\frac{{dh}}{{dh}}}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {2x + h} \right) = 2x
\]

[PoseidonX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ R.Wasutharat

ถ้า $x\rightarrow 2^-$ ลิมิตจะหาค่าไม่ได้ครับ

อยากให้ช่วยแสดงวิธีทำคร่าวๆ ของข้อนี้อ่าครับ พอดีไม่ค่อยเข้าใจเรื่อง + - เท่าไหร่

ขอบคุณมากครับ

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoseidonX

อยากให้ช่วยแสดงวิธีทำคร่าวๆ ของข้อนี้อ่าครับ พอดีไม่ค่อยเข้าใจเรื่อง + - เท่าไหร่

ขอบคุณมากครับ

เนื่องจาก $\sqrt {x - 2} \ge 0$ ดังนั้น $x \ge 2$
\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{x^2 - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } \frac{1}{{\left( {\sqrt {x - 2} } \right)\left( {x + 2} \right)}} = \infty
\]
เนื่องจาก $x \ge 2$
ดังนั้น $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ - } \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{x^2 - 4}}$ ไม่มีลิมิต

[PoseidonX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ R.Wasutharat

เนื่องจาก $\sqrt {x - 2} \ge 0$ ดังนั้น $x \ge 2$
\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{x^2 - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } \frac{1}{{\left( {\sqrt {x - 2} } \right)\left( {x + 2} \right)}} = \infty
\]
เนื่องจาก $x \ge 2$
ดังนั้น $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ - } \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{x^2 - 4}}$ ไม่มีลิมิต

พอเข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ