ถามเกี่ยวกับโจทย์ กสพท เก่าหน่อยครับ

[miracle-]

ให้ a1,a2,a3,...,a6เป็นรากที่7ของ 1 ที่ไม่ใช่ 1
จงหา (1−a1)(1−a2)(1−a3)(1−a4)(1−a5)(1−a6)

อาจที่ผมอ่านเฉลยมา คือแยกเป็น (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0

ผมอยากรู้ว่าจาก x^7-1=0 มันแยกมายังไงครับ แล้ว รู้ได้ไงว่า (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) เท่ากับ

(1−a1)(1−a2)(1−a3)(1−a4)(1−a5)(1−a6) นี่มันเป็นสูตรอยู่แล้ว ช่วยผมทีครับ ผมพื้นไม่แข็ง

[September]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ miracle-

ให้ a1,a2,a3,...,a6เป็นรากที่7ของ 1 ที่ไม่ใช่ 1
จงหา (1−a1)(1−a2)(1−a3)(1−a4)(1−a5)(1−a6)

อาจที่ผมอ่านเฉลยมา คือแยกเป็น (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0

ผมอยากรู้ว่าจาก x^7-1=0 มันแยกมายังไงครับ แล้ว รู้ได้ไงว่า (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) เท่ากับ

(1−a1)(1−a2)(1−a3)(1−a4)(1−a5)(1−a6) นี่มันเป็นสูตรอยู่แล้ว ช่วยผมทีครับ ผมพื้นไม่แข็ง

ลองไปดูเฉลยที่นี่ก่อนไหมครับ http://www.facebook.com/OUTStandingCOURSEs เป็นโจทย์ข้อที่ 6
ดูว่าจะเข้าใจรึเปล่า

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ miracle-

ให้ a1,a2,a3,...,a6เป็นรากที่7ของ 1 ที่ไม่ใช่ 1
จงหา (1−a1)(1−a2)(1−a3)(1−a4)(1−a5)(1−a6)

อาจที่ผมอ่านเฉลยมา คือแยกเป็น (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0

ผมอยากรู้ว่าจาก x^7-1=0 มันแยกมายังไงครับ แล้ว รู้ได้ไงว่า (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) เท่ากับ

(1−a1)(1−a2)(1−a3)(1−a4)(1−a5)(1−a6) นี่มันเป็นสูตรอยู่แล้ว ช่วยผมทีครับ ผมพื้นไม่แข็ง

น่าจะหมายถึงวิธีนี้หรือเปล่าครับ

ให้พหุนาม $P(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

แสดงว่ารากสมการ $P(x)=0$ ก็คือรากที่ 7 ของ 1 ที่ไม่ใช่ 1 ทั้ง 6 ราก (ให้เป็น $a_1,a_2,...,a_6$)

ดังนั้น $P(x)=(x-a_1)(x-a_2) \cdots (x-a_6)$

$P(1)=(1-a_1)(1-a_2) \cdots (1-a_6)$

จากที่เรานิยามพหุนามไว้ก็จะได้ว่า $P(1)=1+1+1+1+1+1+1=7$

$\therefore (1-a_1)(1-a_2) \cdots (1-a_6)=7$

[miracle-]

ที่ผมงงคือ (x−a1)(x−a2)···(x−a6) = x6+x5+x4+x3+x2+x+1

เป็นสูตร หรือความเข้าใจครับ

[PP_nine]

พหุนาม $P(x)$ ดีกรี $n$ ซึ่งมี $a_1,a_2,...a_n$ เป็นรากสมการแล้ว (ถ้าซ้ำก็นับซ้ำไปด้วย)

$P(x)=k(x-a_1)(x-a_2) \cdots (x-a_n)$ เมื่อ $k \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$

ซึ่งในที่นี้ สปส.นำเป็น 1 เลยได้ $k=1$ จึงได้ตามนั้นครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ miracle-

ที่ผมงงคือ $(x−a_1)(x−a_2)···(x−a_6) = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

เป็นสูตร หรือความเข้าใจครับ

เป็นความเข้าใจเกี่ยวกับคำว่า ราก

ความรู้พื้นฐานสำคัญที่สุดครับ

[Amankris]

เห็นด้วยกับ #6 มากๆครับ

[แม่ให้บุญมา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ miracle-

ให้ a1,a2,a3,...,a6เป็นรากที่7ของ 1 ที่ไม่ใช่ 1
จงหา (1−a1)(1−a2)(1−a3)(1−a4)(1−a5)(1−a6)

อาจที่ผมอ่านเฉลยมา คือแยกเป็น (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0

ผมอยากรู้ว่าจาก x^7-1=0 มันแยกมายังไงครับ แล้ว รู้ได้ไงว่า (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) เท่ากับ

(1−a1)(1−a2)(1−a3)(1−a4)(1−a5)(1−a6) นี่มันเป็นสูตรอยู่แล้ว ช่วยผมทีครับ ผมพื้นไม่แข็ง

ผมตอนแรกก็งงเหมือนกันครับ แต่เมื่อเอาข้อมูล และขั้นตอนมาแสดงจนครบก็ทำให้เข้าใจได้ดังนี้ครับ

วิธีทำ

รากที่ 7 ของ 1 หาได้จาก สมการ $x^7=1$ หรือ
อาจหารากแต่ละรากได้จาก $x=1cis (\frac {2n\pi}{7})$ โดย มีค่า n=0 ถึง 6 ถ้า n=0 ก็จะได้ x=1 เป็น 1 ใน 7 รากเหล่านั้น แต่โจทย์ไม่ต้องการให้คำนวณหารากที่เหลืออีก 6 ตัว แต่ให้เรียกเป็น $a_1$ ถึง $a_6$ ดังนั้นจาก
$x^7-1=0$ จะได้ว่า
$=(x-1)(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)(x-a_5)(x-a_6)$ รวม $x=1$ จะเป็น 7 รากด้วยกัน
$=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$ ถ้าลองกระจายดูจะได้เท่ากับ $x^7-1$ ดังนั้นเมื่อเอา $x-1$ ออกจะเหลือ
$(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)(x-a_5)(x-a_6)= x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ แทนค่า x=1จะได้
$(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)(1-a_4)(1-a_5)(1-a_6)= 1^6+1^5+1^4+1^3+1^2+1+1=7$