สัมประสิทธิ์ของ x⁵⁴ ในอนุกรม 1+(1+x²)+(1+x²)²+..+(1+x²)^(50)

[แม่ให้บุญมา]

สัมประสิทธิ์ของ x⁵⁴ ในอนุกรม $1+(1+x²)+(1+x²)²+...+(1+x²)^{50}$
คำตอบคือ$ \binom{51}{28}$

ผมลองทำดังนี้
(1+x²)ⁿ กระจายพจน์ที่ r+1 ได้ $\binom{n}{r} x^{2r}$
ได้ r= 27

ดังนั้นผลบวกของ สัมประสิทธิ์ของ x⁵⁴ ในอนุกรม $1+(1+x²)+(1+x²)²+...+(1+x²)^{50}$
ได้แก่ ช่วง n=27 ถึง 50
$=\binom{27}{27} +\binom{28}{27}+\binom{29}{27}+...+\binom{50}{27}$
$= \frac{1}{27!}( \frac{27!}{0!}+\frac{28!}{1!}+\frac{29!}{2!}+..+\frac{50!}{22!})$

ไม่รู้ว่าต้องทำอย่างไรต่อครับถึงได้ =$ \binom{51}{28}$

[lek2554]

$\binom{27}{27} +\binom{28}{27}+\binom{29}{27}+...+\binom{50}{27}=\binom{28}{28} +\binom{28}{27}+\binom{29}{27}+...+\binom{50}{27}$

$\binom{n}{r} +\binom{n}{r-1}=\binom{n+1}{r}$

[nooonuii]

ใช้เอกลักษณ์นี้

$\binom{r}{r}+\binom{r+1}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\binom{n+1}{r+1}$

[แม่ให้บุญมา]

ขอบคุณครับ แนะได้เร็วดีจัง
บันทัดแรก พจน์แรกเท่ากับ 1 เท่ากัน สมการเป็นจริง
บันทัดที่สอง ก็พิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง แต่ยังไปต่อไม่เป็นครับ

[แม่ให้บุญมา]

ขอบคุณครับ แต่เอกลักษณ์นี้มีที่มาอย่างไรครับ ถ้ายาวก็ช่วยแนะว่าไปอ่านพิสูจน์จากที่ไหนก็ได้ครับ

[nooonuii]

#2 บอกว่าให้ใช้เอกลักษณ์ที่ให้มาทำต่อไปเรื่อยๆครับ

ลองจับมาทำทีละคู่ครับ ตัวเลขมันจะขยับขึ้นไปเรื่อยๆ

เอกลักษณ์ที่ผมให้มาก็ใช้วิธีเดียวกัน

[แม่ให้บุญมา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$\binom{27}{27} +\binom{28}{27}+\binom{29}{27}+...+\binom{50}{27}=\binom{28}{28} +\binom{28}{27}+\binom{29}{27}+...+\binom{50}{27}$

$\binom{n}{r} +\binom{n}{r-1}=\binom{n+1}{r}$

เห็นทางแล้ว ขอบพระคุณที่ชี้ทางให้
ลองทำตามคำแนะนำของทั้งสองท่าน ดูแล้วอนุกรมจะยุบตัวลงไปเรื่อยๆจนเหลือพจน์เดียวที่เป็นคำตอบ เริ่มจากสองพจน์แรกด้านขวาของสมการ
$\binom{28}{28} +\binom{28}{27}=\binom{29}{28}$
$\binom{29}{28} + \binom{29}{27}= \binom{30}{28}$
$\binom{30}{28} + \binom{30}{27}= \binom{31}{28}$
.
.
$\binom{50}{28} + \binom{50}{27}= \binom{51}{28}$

[หยินหยาง]

เสนอให้อีกวิธี

$1+(1+x^2)+(1+x^2)^2+...+(1+x^2)^{50} =\frac{(1+x^2)^{51}-1}{(1+x^2)-1} $

[แม่ให้บุญมา]

ผมลองทำต่อเพื่อหาสัมประสิทธิ์ของ x กำล้งทุกตัวซึ่งเป็นคู่
จากที่หาไว้แล้ว
พจน์ที่ r+1 ของอนุกรมจะไ้ด้
$ \binom{n}{r} \times x^{2r}$
และจากการกระจายอนุกรมข้างต้นจะได้
สัมประสิทธิ์ของ พจน์ที่ r+1 จะเท่ากับ
$\binom{50+1}{r+1}$ ของ $x^{2r}$

ดังนั้นกระจายทุกพจน์ของอนุกรมดั้งเดิมแล้วจะได้เท่ากับ
$ \binom{51}{1}+ \binom{51}{2}x^2+ \binom{51}{3}x^4+ \binom{51}{4}x^6+ \binom{51}{5}x^8++..+\binom{51}{51}x^{100}$

เพิ่งเห็นวิธีของคุณ หยินหยาง ในการหาค่ารวมของอนุกรมที่เป็นรูปแบบที่ง่ายและประหยัดเวลา โดยใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต ทำให้คำนวณผิดพลาดได้น้อยถ้าโจทย์ต้องการหาค่ารวมของอนุกรม ขอบคุณมากครับ

สำหรับ เอกลักษณ์ใน #2,และ #3 ผมได้พบแล้วว่านำมาใช้ได้ โดยช่วยประหยัดเวลาในการคำนวณหาจำนวนวิธีโดยรวมของ การจัดกลุ่มที่แบ่งเป็นหลายๆแบบและมีชนิดที่ซ้ำกันด้วย และจำนวนวิธีของแต่ละแบบต้องนำมาบวกกันทั้งหมด

[September]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

ผมลองทำต่อเพื่อหาสัมประสิทธิ์ของ x กำล้งทุกตัวซึ่งเป็นคู่
จากที่หาไว้แล้ว
พจน์ที่ r+1 ของอนุกรมจะไ้ด้
$ \binom{n}{r} \times x^{2r}$
และจากการกระจายอนุกรมข้างต้นจะได้
สัมประสิทธิ์ของ พจน์ที่ r+1 จะเท่ากับ
$\binom{50+1}{r+1}$ ของ $x^{2r}$

ดังนั้นกระจายทุกพจน์ของอนุกรมดั้งเดิมแล้วจะได้เท่ากับ
$ \binom{51}{1}+ \binom{51}{2}x^2+ \binom{51}{3}x^4+ \binom{51}{4}x^6+ \binom{51}{5}x^8++..+\binom{51}{51}x^{100}$

เพิ่งเห็นวิธีของคุณ หยินหยาง ในการหาค่ารวมของอนุกรมที่เป็นรูปแบบที่ง่ายและประหยัดเวลาและมีโอกาสคำนวณผิดพลาดได้น้อย ขอบคุณมากครับ

สำหรับ เอกลักษณ์ใน #2,และ #3 ผมได้พบแล้วว่านำมาใช้ได้ โดยช่วยประหยัดเวลาในการคำนวณหาจำนวนวิธีโดยรวมของ การจัดกลุ่มที่แบ่งเป็นหลายๆแบบและมีชนิดที่ซ้ำกันด้วย และจำนวนวิธีของแต่ละแบบต้องนำมาบวกกันทั้งหมด

โจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยปี พ.ศ.2537 วิธีทำตามแนวคิดของคุณหยินหยางน่าจะสะดวกสุดแล้ว

[แม่ให้บุญมา]

นี่เป็นโจทย์ข้อ 7 ใน file Per-com-prob2.pdf ที่ ผมdownload มาเป็นของภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์จุฬา ซึ่งถามเพียงสัมประสิทธิ์ของ $x^{54}$ แต่ผมลองทำต่อหาของ x ทุกตัวดูเกินกว่าที่โจทย์ถามทำให้ดูยืดยาวออกไป ในแฟ้มนี้มีโจทย์น่าสนใจหลายข้อด้วยกัน มีคำตอบในด้ว

[September]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

นี่เป็นโจทย์ข้อ 7 ใน file Per-com-prob2.pdf ที่ ผมdownload มาเป็นของภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์จุฬา ซึ่งถามเพียงสัมประสิทธิ์ของ $x^{54}$ แต่ผมลองทำต่อหาของ x ทุกตัวดูเกินกว่าที่โจทย์ถามทำให้ดูยืดยาวออกไป ในแฟ้มนี้มีโจทย์น่าสนใจหลายข้อด้วยกัน มีคำตอบให้ด้ว

น่าจะเป็นโจทย์ที่รวบรวมมาจากข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเก่า ใช้โจทย์คล้ายๆ อย่างนี้หรือเปล่าครับ
http://www.pratabong.com/P_web/math/...Count_Prob.pdf
ข้อที่คุณถามอยู่เป็นข้อ 88 ข้อสุดท้ายพอดี

[แม่ให้บุญมา]

ค้นเจอด้วย google จากจุฬา เอาชื่อ file ไปค้นอีกทีหาไม่เจอ คงใช้คำค้นอื่นครับ ถ้าต้องการจะ upload ให้

[แม่ให้บุญมา]

โพสต์โจทย์และคำตอบเกี่ยวกับ combination and permutation ของจุฬา ที่ใช้ google ค้นเจอ ไม่ได้แสดงวิธีทำ มี 2 file
http://www.datafilehost.com/download-e8f015c4.html
http://www.datafilehost.com/download-2e24db51.html