ช่วยพิสูจน์ข้อความนี้ด้วยนะคะ

[konkoonJAi]

ช่วยพิสูจน์ว่า สมการ
$$e^{x}= x^{e}$$
มีเพียงคำตอบเดียวคือ x=e

ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ
จาก konkoonjAi ม.ขอนแก่น

[warut]

ให้ $x$ เป็น positive real number

ถ้า $e^x=x^e$ แล้ว $x-e\ln x=0$

ให้ $f(x)=x-e\ln x$

ดังนั้น $f'(x)=1-\dfrac{e}{x}$

เนื่องจาก $f'(e)=0$ และ $f'(x)>0$ เมื่อ $x>e$ และ $f'(x)<0$ เมื่อ $x<e$ เราจึงบอกได้ว่า ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ $f(x)$ อยู่ที่ $x=e$ และืเนื่องจาก $f(e)=0$ แสดงว่าถ้า $x\ne e$ แล้ว $x-e\ln x>0$ นั่นคือ $e$ เป็นรากเดียวของ $e^x=x^e$ ครับ

[konkoonJAi]

ขอบคุณมากๆๆ นะคะ คุณ Warut