ช่วยแก้โจทย์ จำนวนเชิงซ้อน ทีครับ

[PoseidonX]

ช่วยข้อไหนก็ได้ครับ ทุกข้อก็ยิ่งดี

คือไม่ได้แบบว่าต้องการคำตอบอ่าครับ แต่อยากรู้วิธีคิด วิธีทำ อ่าครับ ^^


1.จงหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (ข้อนี้ลองทำดูแล้วทำได้ครับ แต่มันไม่มีช้อยที่ตรงกัน เลยมาให้พี่ๆ ช่วยทำให้ดูอีกทีอ่าครับ)

$\frac{5}{i(i+1)(i-2)(i+3)(i-4)}$


2.จำนวนเชิงซ้อน Z ซึ่ง ${\left|\,\right.}$ ${\frac{z+1}{z+(3-2i)}\left.\,\right|=1}$ และ $z\overline{z} = 17$ แล้ว Z มีค่าเท่าใด


3.กำหนด ${Z_1,Z_2}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนที่ ${\left|\,\right. Z_1\left.\,\right| }$ = ${\left|\,\right. Z_2\left.\,\right| }$ = ${\sqrt{50}}$ ถ้า ${Z_1+Z_2 = 8+6i}$ และ ${2{Z_1}^{-1}+{Z_2}^{-1} = {\frac{3-i}{10}} จงหาค่าของ \left|\,\right. Z_1-Z_2\left.\,\right| }$


4.กำหนดให้ ${Z_1}$ = ${\frac{{\sqrt{3}}}{2}\left(\,\right.cos90^\circ+isin90^\circ\left.\,\right) }$
${Z_2}$ = ${\frac{{\sqrt{2}}}{2}\left(\,\right.cos165^\circ+isin165^\circ\left.\,\right) }$
${Z_3}$ = ${\sqrt{2}\left(\,\right.cos15^\circ-isin15^\circ\left.\,\right) }$

ค่าของ ${\frac{Z_2Z_3}{Z_1}}$ คือเท่าไร


5.ถ้า ${1+i}$ เป็นรากหนึ่งของสมการ ${Z^4-6Z^3+23Z^2-34Z+26 = 0}$ อีกสามรากที่เหลือคือเท่าไร

[nongtum]

1. $\dfrac{5}{i(i+1)(i-2)(i+3)(i-4)}=\dfrac{5}{i(-3-i)(-13-i)}=\dfrac{-5i}{38+16i}=\dfrac{-5i(38-16i)}{1192}$
(ทอนเศษส่วนต่อเอง)

2. $\bar{z}_1$ คืออะไรครับ

3. สมมติ $z_1=a+bi,\ z_2=c+di$ แล้วสร้างสมการจากสองความสัมพันธ์หลัง โดยใช้ความสัมพันธ์แรกช่วยลดรูปโจทย์

4. ดู(ทฤษฎี/นิยาม)การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

5. จากโจทย์ จะได้ $1-i$ เป็นรากของสมการด้วย นั่นคือ $(z-1+i)(z-1-i)$ เป็นตัวประกอบของสมการที่กำหนดให้

[PoseidonX]

2. $\bar{z}_1$ คืออะไรครับ
ไม่แน่ใจอะครับ แต่เห็นโจทมันเขียนแบบนี้ แต่จิงๆ อา่จจะไม่มี 1 ห้อยอะครับ

3. สมมติ $z_1=a+bi,\ z_2=c+di$ แล้วสร้างสมการจากสองความสัมพันธ์หลัง โดยใช้ความสัมพันธ์แรกช่วยลดรูปโจทย์
อันนี้ลองทำดูแล้ว แต่แก้ไม่หลุดอ่าครับ ช่วยแสดงให้ดูได้ไหมอะึึครับ ^^

4. ดู(ทฤษฎี/นิยาม)การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
ข้อนี้อยากให้แสดงวิธีทำให้ดูอะครับ พอดีมันติดตรงที่ ${Z_2}$ ตรงกลางมันเป็นเครื่องหมายลบอะครับ

ส่วนที่เหลือจะไปลองทำตามดูครับ


ขอบคุณมากครับ

[nongtum]

#3
ข้อ 3 โดยการสมมติข้างต้น จะได้ $(a+c)+(b+d)i=8+6i$ นั่นคือ $a+c=8$ และ $b+d=6$
จากสมการหลัง จะได้ $\dfrac{2}{a+bi}+\dfrac{1}{c+di}=\dfrac{2(a-bi)}{a^2+b^2}+\dfrac{c-di}{c^2+d^2}
=\dfrac{2(a-bi)}{50}+\dfrac{c-di}{50}=\dfrac{3-i}{10}$
แล้วจัดรูปอีกเล็กน้อย ก่อนเทียบส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ เพื่้อสร้างสมการ แล้วแก้ระบบสมการทีละคู่เพื่อหา $a,c$ และ $b,d$

ข้อ 4
$\cos (-A)=\cos A,\ \sin (-A)=-\sin A$ ถึงตรงนี้น่าจะใช้นิยามได้แล้วนะครับ

[PoseidonX]

ได้แล้วครับ ขอบคุณมากครับ


ยังเหลือข้อ 2 อีกนิดนึงอะครับ ที่อยากให้ช่วย ^^

[nongtum]

ข้อสอง ลองเริ่มจากสมมติให้ $z=a+bi$ แล้วลองสร้างสองสมการจากเงื่อนไขโจทย์ทั้งสองข้อดูสิครับ

[PoseidonX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ข้อสอง ลองเริ่มจากสมมติให้ $z=a+bi$ แล้วลองสร้างสองสมการจากเงื่อนไขโจทย์ทั้งสองข้อดูสิครับ

ข้อนี้ ลองทำตามที่บอกหลายรอบแล้วครับ มันก็ไม่หลุดอะครับ


ช่วยกรุณาลองทำให้ดูได้ไหมครับ ขอบคุณครับ

[gnopy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoseidonX

ข้อนี้ ลองทำตามที่บอกหลายรอบแล้วครับ มันก็ไม่หลุดอะครับ


ช่วยกรุณาลองทำให้ดูได้ไหมครับ ขอบคุณครับ

ให้ $z=a+bi$

จะได้ $z+1=(a+1)+bi $(รวมส่วนจริงเข้าไว้ด้วยกัน)

และ $z+3-2i=(a+3)+(b-2)i$(จริงรวมจริงจินตภาพรวมจินตภาพ)

ดังนั้น $\frac{z+1}{z+(3-2i)}=\frac{(a+1)+bi}{(a+3)+(b-2)i}$

จากสมบัติ $|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}$

ดังนั้น $|\frac{z+1}{z+(3-2i)}|=\frac{|z+1|}{|z+(3-2i)|}=\frac{|(a+1)+bi|}{|(a+3)+(b-2)i|}=1$

จะได้
$|(a+1)+bi|=|(a+3)+(b-2)i|$

$\sqrt{(a+1)^2+b^2}=\sqrt{(a+3)^2+(b-2)^2}$ ยกกำลัง 2 สองข้าง

$(a+1)^2+b^2=(a+3)^2+(b-2)^2$

$(a+1)^2-(a+3)^2=(b-2)^2-b^2$ ใช้ผลต่างกำลังสองได้

$(2a+4)(-2)=(2b-2)(-2)$

$2a+4=2b-2$

$2a=2b-6$

$a=b-3.................(1)$

จาก $z\overline{z} =|z|^2=a^2+b^2=17$............................(2)

จาก $a=b-3 $แทนลงใน (2)

จะได้ $(b-3)^2+b^2=17$ ต่อไปก็แก้สมการหา $b$ ละก็ $a$ ได้ไม่ยากแล้วนะครับ

[PoseidonX]

พอเข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ ^^