|
|
#1
20 สิงหาคม 2007, 15:37
|
||||
|
||||
อสมการ
ใครมี solution ข้อนี้แบบสั้นๆบ้างครับ?
ให้ $x,y,z \geq 0$ (ซึ่งสองตัวใดใด ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน) จงแสดงว่า $\frac{x^{2}-yz}{x^{2}+2yz}+\frac{y^{2}-zx}{y^{2}+2zx}+\frac{z^{2}-xy}{z^{2}+2xy} \geq 0$ 20 สิงหาคม 2007 15:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Spotanus 
|
|
#2
20 สิงหาคม 2007, 19:51
|
||||
|
||||
|
พิจารณา
$\frac{x^2-yz}{x^2+2yz}-1=\frac{-3yz}{x^2+2yz}$ $$\therefore \frac{x^2-yz}{x^2+2yz}+\frac{y^2-zx}{y^2+2zx}+\frac{z^2-xy}{z^2+2xy}-3+3$$ $$=3+(\frac{x^2-yz}{x^2+2yz}-1)+(\frac{y^2-zx}{y^2+2zx}-1)+(\frac{z^2-xy}{z^2+2xy}-1)$$ $$=3+\frac{-3yz}{x^2+2yz}+\frac{-3zx}{y^2+2zx}+\frac{-3xy}{z^2+2xy}$$ $$=3-3[\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{zx}{y^2+2zx}+\frac{xy}{z^2+2xy}]$$ ต่อไปจะแสดงว่า $$\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{zx}{y^2+2zx}+\frac{xy}{z^2+2xy}\leq 1$$ ซึ่งจะเห็นว่า $\frac{yz}{x^2+2yz}\leq 1$,$\frac{zx}{y^2+2zx}\leq1$,$\frac{xy}{z^2+2xy}\leq1$
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!!  BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
|
#3
20 สิงหาคม 2007, 19:59
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
|
|
#4
20 สิงหาคม 2007, 20:20
|
||||
|
||||
|
จริงของคุณ gools
 ขอโทษด้วยครับ
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
|
#5
21 สิงหาคม 2007, 01:03
|
|||
|
|||
|
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#6
21 สิงหาคม 2007, 20:43
|
||||
|
||||
|
$$\sum_{cyc}{\frac{x^{2}-yz}{x^{2}+2yz}} \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}{\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}} \geq \sum_{cyc}{\frac{yz}{x^{2}+2yz}}$$ $$\Leftrightarrow \sum_{cyc}{\frac{3x^{2}}{x^{2}+2yz}} \geq 3$$ $$\Leftrightarrow (\sum_{cyc}{x^{2}+2yz})(\sum_{cyc}{\frac{x^2}{x^2+2yz}}) \geq (x+y+z)^2$$ ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ cauchy-schwarz 06 ตุลาคม 2007 23:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ dektep
|
|
#7
25 สิงหาคม 2007, 21:26
|
||||
|
||||
|
จากความจริงที่ว่า $y^2+z^2\geq 2yz$ ฉะนั้น$$\frac{x^2-yz}{x^2+2yz}\geq\frac{x^2-yz}{x^2+y^2+z^2}$$ ในทำนองเดียวกันจะได้$$\frac{y^2-zx}{y^2+2zx}\geq\frac{y^2-zx}{x^2+y^2+z^2}$$ $$\frac{z^2-xy}{z^2+xy}\geq\frac{z^2-xy}{x^2+y^2+z^2}$$
$\therefore\frac{x^2-yz}{x^2+2yz}+\frac{y^2-zx}{y^2+2zx}+\frac{z^2-xy}{z^2+2xy}$ $\geq \frac{x^2-yz}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2-zx}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2-xy}{x^2+y^2+z^2}$ $=\frac{(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}$ จากที่ $x^2+y^2+z^2\geq 0$ และ $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ ฉะนั้น$\frac{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}{x^2+y^2+z^2}\geq 0$
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
|
#8
26 สิงหาคม 2007, 07:36
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
ข้อความจึงไม่จริงเสมอไปครับ ตัวอย่าง $x=1,y=1,z=2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#9
26 สิงหาคม 2007, 15:31
|
||||
|
||||
|
ถ้าอย่างนั้น โดยไม่เสียนัยเราสมมติว่า $x\geq y\geq z$ ได้รึเปล่าครับ
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
  |
|
|
