Equation Solving Marathon

[กขฃคฅฆง]

จงหาจำนวนเต็มบวก $x,y$ ซึ่ง $x\not= y$ และ $$x^{y(y+1)}+y^{x(x+1)} = x^yy^{x^2}+y^xx^{y^2}$$

[จูกัดเหลียง]

ไม่เเน่ใจนะครับ

Lemma:

ถ้า $\sqrt[n]{x}\in\mathbb{Q}$ เเล้ว $\sqrt[n]{x}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ทุกจำนวนเต็มบวก $n,x$
Proof Let $\sqrt[n]{x}=\dfrac{a}{b}$ for some $a,b\in\mathbb{N}$ so $a^n=xb^n$ and let prime $p$ and the biggest $\alpha$ such that $p^\alpha||b$ implies $p^{n\alpha}|b^n\rightarrow p^{n\alpha}|a^n$ so $p^\alpha|a$ therefore $b|a$

แยก ตปก. ได้ว่า $(x^y-y^x)(x^{y^2}-y^{x^2})=0$
กรณี $x^y=y^x$ พบว่า $x\ge 2$ WLOG $y>x$ จัดรูปได้ว่า $\Big(\dfrac{y}{x}\Big)^{x+y}=(xy)^{y-x}$ ทำให้ $x|y$ ให้ $y=kx$ โดย $k>1$ จัดรูปได้ $x^k=kx\therefore x^{k-1}=k\ge 2^{k-1}$ ซึ่ง induction ได้ไม่ยากว่า มี $k=2$ เท่านั้น ได้ $(x,y)=(2,4),(4,2)$
กรณี $x^{y^2}=y^{x^2}$ ทำนองเดียวกัน จะพบว่าไม่มีคำตอบ

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ไม่เเน่ใจนะครับ

Lemma:

ถ้า $\sqrt[n]{x}\in\mathbb{Q}$ เเล้ว $\sqrt[n]{x}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ทุกจำนวนเต็มบวก $n,x$
Proof Let $\sqrt[n]{x}=\dfrac{a}{b}$ for some $a,b\in\mathbb{N}$ so $a^n=xb^n$ and let prime $p$ and the biggest $\alpha$ such that $p^\alpha||b$ implies $p^{n\alpha}|b^n\rightarrow p^{n\alpha}|a^n$ so $p^\alpha|a$ therefore $b|a$

ทำไมต้องพิสูจน์ตรงนี้ครับ

วิธีของผม กรณี $x^y=y^x$ ให้ $y>x \rightarrow y=x+c , c\in \mathbb{N} $ จะได้

$x^{x+c} = (x+c)^x$

$x^c = (1+\frac{c}{x} )^x$

$x = (1+\frac{c}{x} )^{\frac{x}{c}} < e$

$x=2$

กรณี $x^{y^2} = y^{x^2}$ ก็ทำคล้ายๆกัน

[Thamma]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

กรณี $x^{y^2} = y^{x^2}$ ก็ทำคล้ายๆกัน

ช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยนะคะ

[กขฃคฅฆง]

$x^{(x+c)^2} = (x+c)^{x^2}$

$x^{2xc+c^2} = (1+\frac{c}{x})^{x^2}$

$x^{2+\frac{c}{x}} = (1+\frac{c}{x})^{\frac{x}{c}} < e$

$x^2 < 3$

[Thamma]

ขอบคุณมากนะคะ