Equation Solving Marathon

[Pitchayut]

ไปเปิดดู Algebra Marathon ของคุณ nooonuii แล้ว มีแต่ Abstract Algebra ซึ่งอยู่ในระดับมหาวิทยาลัย (ไม่แน่ใจว่าปีไหน) ดังนั้นผมขอตั้ง Marathon ในเรื่องพีชคณิตแบบ Elementary ก็แล้วกัน โดยโจทย์ในนี้จะเกี่ยวกับการแก้สมการล้วนๆ ซึ่งผมขอให้เป็นสมการพีชคณิตที่แก้ได้โดยใช้ความรู้ไม่เกินโอลิมปิก หรือถ้า ม.ปลาย ได้ยิ่งดีครับ ส่วนจะซ่อนทริคไว้มากแค่ไหนก็ตามใจเลยครับ และก็จะขอใช้กฎเหมือนเดิมก็คือตั้งคำถามทีละข้อ ใครตอบได้ก็ตั้งข้อต่อไป โดยผมขอเริ่มต้นด้วยโจทย์สมการพหุนาม 1 ข้อ

1. จงแก้สมการ $x^8+2x^7+3x^6+4x^5+5x^4+4x^3+3x^2+2x+1=0$

แล้วก็ฝากปักหมุดเหมือนเดิมครับ

[Beatmania]

เราว่ากระทู้เก่ามันก็ไม่แอ๊บแต่กขนาดนั้นนะ

จัดรูปได้เป็น $(x^4+x^3+x^2+x+1)^2=0$

คำตอบคือ $x=\omega_5^i$ โดย $\omega_5=cis\frac{2\pi}{5}$ และ $i=1,2,3,4$

2.จงหาช่วงของค่า $a$ ที่ทำให้สมการ $x(x+1)^3=(2x+a)(x+a-1)$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริงทั้งหมดและแตกต่างกัน

[Stochastic]

2.

$$x(x+1)^3=(2x+a)(x+a-1)=a^2+(3x-1)a+2x(x-1)$$
$$(a+\dfrac{3x-1}{2})^2=\left[\,\dfrac{(x+1)(2x+1)}{2}\right]^2 $$
$$a=\dfrac{(1-3x)\pm(2x^2+3x+1)}{2}=x^2+1,-x^2-3x$$
จากการที่ $x\in\mathbb{R} $ จะได้ว่า $a\in\mathbb{R} $ และ
$$x=\pm\sqrt{a-1},\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-a}$$
จากการการที่ $a$ ทำให้ $x$ แตกต่างกันหมด จะได้ว่า $a\not=\dfrac{13}{8}$ ดังนั้นคำตอบคือ
$$\left[1,\dfrac{9}{4}\right]-\left\{\,\dfrac{13}{8}\right\} $$

3. จงหา $x\in\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\sqrt{5-x}=5-x^2$

[FranceZii Siriseth]

3.วาดกราฟดูก่อนจะมี 2 คำตอบ (บวก 1 ตัว, ลบ 1 ตัว)
พิจารณาในช่วง $x>0$ จะได้ว่า $f(x)=\sqrt{5-x},f^{-1}(x)=5-x^2$
ดังนั้น 2 กราฟนี้ถ้าจะตัดกัน จุดตัดจะอยู่บนเส้นตรง $y=x$
คำตอบหนึ่งจะเป็นคำตอบของสมการ $\sqrt{5-x}=x, \quad x=\dfrac{1}{2}(\sqrt{21}-1)$

พิจาณาช่วง $x<0$ ให้$\sqrt{5-x}=a$

$a^4-10a^2-a+20=0$
$(a^2-a-5)(a^2+a-4)=0$

เมื่อตรวจคำตอบแล้ว $x=\dfrac{1}{2}(1-\sqrt{17})$ เป็นคำตอบ

[FranceZii Siriseth]

4.จงหาคำตอบของสมการ $x^2+\sqrt{x+7}=7$

[กขฃคฅฆง]

$x^2 - 7 = -\sqrt{x+7} $

$x^4 - 14x^2 - x +42 = 0$

$(x-2)(x+3)(x^2-x-7) = 0$

ตรวจสอบแล้วคำตอบคือ $x = 2 , \displaystyle{\frac{1-\sqrt{29} }{2}}$


5. จงหาคำตอบ($x,y,z \in \mathbb{R} - \{0\}$)ของระบบสมการ

$x^6 + 4z^6 \ = 20x^2y^2 + 13y^2z^2 - 78$

$2x^6 + y^6 \ = 5y^2z^2 + 11z^2x^2 - 96$

$3y^6 + 14z^6 = 16z^2x^2 - 2x^2y^2 + 27$

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Stochastic

จากการที่ $x\in\mathbb{R} $ จะได้ว่า $a\in\mathbb{R} $ และ
$$x=\pm\sqrt{a-1},\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-a}$$
จากการการที่ $a$ ทำให้ $x$ แตกต่างกันหมด จะได้ว่า $a\not=\dfrac{13}{8}$ ดังนั้นคำตอบคือ
$$\left[1,\dfrac{9}{4}\right]-\left\{\,\dfrac{13}{8}\right\} $$

$a$ ไม่เป็น $1$ กับ $\displaystyle{\frac{9}{4} }$ ด้วยรึป่าวครับ ไม่งั้นก็มีคำตอบซ้ำคือ $0$

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

5. จงหาคำตอบ($x,y,z \in \mathbb{R} - \{0\}$)ของระบบสมการ

$x^6 + 4z^6 \ = 20x^2y^2 + 13y^2z^2 - 78$

$2x^6 + y^6 \ = 5y^2z^2 + 11z^2x^2 - 96$

$3y^6 + 14z^6 = 16z^2x^2 - 2x^2y^2 + 27$

นำสามสมการมารวมกันจะได้ว่า

$3x^6+4y^6+18z^6+147=18x^2y^2+18y^2z^2+27z^2x^2$

จาก AM-GM

$2x^6+2y^6+54\geq 18x^2y^2$

$2y^6+9z^6+12\geq 18y^2z^2$

$9z^6+x^6+81\geq 27x^2z^2$

บวกกันจะได้สมการตามต้องการ

โดยเป็นสมการเมื่อ $2x^6=2y^6=54$ (จากอสมการแรก) $2y^6=9z^6=12$ (จากอสมการที่สอง) เราจะได้ว่า $54=12$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ครับ

6. จงแก้สมการ $x^y=z,y^z=x,z^x=y$ โดยที่ $x,y,z\in\mathbb{R}^+$

[กขฃคฅฆง]

6.

$$x^y=z \qquad ...(1)$$ $$y^z=x \qquad ...(2)$$ $$z^x=y \qquad ...(3)$$

ถ้ามีตัวใดตัวหนึ่งเป็น 1 สมมติคือ $x$

จาก $(1)$ ได้ว่า $z=1$ จาก $(3)$ ได้ว่า $y=1$

ถ้าไม่มีตัวใดเป็น 1

แทนค่า $y$ จาก $(3)$ ลงใน $(2)$ ได้ว่า $z^{xz} = x$

แล้วแทนค่า $z$ จาก $(1)$ ได้ว่า $x^{xyz} = x$

จาก $x\not= 1$ ได้ว่า $xyz = 1$

กรณีที่1 มีตัวเดียวน้อยกว่า1 สมมติคือ $x$

จะได้ $y>1 , z>1$ ดังนั้น $y^z > 1$ ขัดแย้งกับ $(2)$

กรณีที่2 มีตัวเดียวมากกว่า1 สมมติคือ $x$

จะได้ว่า $y<1 , z<1$ ดังนั้น $y^z < 1$ ขัดแย้งกับ $(2)$

ดังนั้นคำตอบคือ $x=y=z=1$

7. จงหาค่า $x \in \mathbb{N} \ , y \in \mathbb{R} -\mathbb{N} $ ซึ่ง $\displaystyle{x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{x}} $ และ $x^y = y^x$

[Beatmania]

7. จากสมการแรก เราได้ว่า $(xy+1)(x-y)=0$ นั่นคือ $x=y$ หรือ $xy=-1$

ถ้าหาก $x=y$ จะได้ว่า $y\in\mathbb{N}$ ขัดแย้งกับเงื่อนไขโจทย์

ถ้าหาก $xy=-1$ จากสมการที่สอง เราได้ว่า $x^{-\frac{1}{x}}=(-x^{-1})^x$ หรือก็คือ $x^{-x^{-1}}=(-x)^{-x}$

ถ้าหาก $x$ เป็นเลขคี่ เราจะได้ว่า $x^{-x^{-1}}>0>(-x)^{-x}$

ถ้าหาก $x$ เป็นเลขคู่เราจะได้ว่า $(-x)^{-x}=x^{-x}$ ทำให้ได้ว่า $x^{-x^{-1}}=x^{-x}$

ได้ว่า $-x^{-1}=-x$ หรือก็คือ $x=1$ แต่ว่าทั้งคู่ไม่ใช่จำนวนคู่ จึงไม่เป็นคำตอบของข้อนี้

ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบครับ (หลอกได้เนียนดีครับ เราชอบมาก )

8. จงแก้สมการ $\sqrt{4-3\sqrt{10-3x} } =x-2$ โดยที่ $x\in\mathbb{R}$

[กขฃคฅฆง]

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

8.

$2+\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x$

$2+\sqrt{4-3\sqrt{4-3\sqrt{4-...}}}= x $

หาค่าของ $\sqrt{4-3\sqrt{4-3\sqrt{4-...}}}=1 $

$x=3$

ตั้งต่อเลยครับผมไม่มีโจทย์

[Beatmania]

9. จงแก้สมการ $8x^3-3x^2-3x-1=0$ ในจำนวนเชิงซ้อน

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

9. จงแก้สมการ $8x^3-3x^2-3x-1=0$ ในจำนวนเชิงซ้อน

$9x^3=(x+1)^3$

$\sqrt[3]{9}x=(x+1)(\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i)$

ย้ายข้างสมการหาค่า x ออกมา

[mathph]

ไม่เล่นต่อแล้วหรอครับ555(เพิ่งมาเจอกระทู้อ่าครับ555)