SHORTLIST TMO (7th) เฉพาะคำถาม

[banker]

[banker]

[banker]

[LightLucifer]

ALGEBRA NO.11

11. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง
$$f(xy+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2.....(*)$$
สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$

Solution

แทน $x=-1,y=1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า
$f(0)=f(1)f(-1)-f(-1)-1+2..........(1)$
แทน $x=1,y=-1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า
$f(0)=f(-1)f(1)-f(0)+1-2..........(2)$
จาก $(1)$ และ $(2)$ เราจะได้ว่า
$-f(-1)-1=-f(1)+1$
$f(1)=f(-1)+2..........(3)$
แทน $(3)$ ใน $(1)$ จะได้ว่า
$f(0)=(f(-1)+2)f(-1)-f(-1)-1+2=f(-1)^2+f(-1)+1..........(4)$
แทน $x=y=0$ ใน $(*)$ จะได้ว่า
$f(1)=f(-1)+2=f(0)^2-f(0)+2$
$f(-1)=f(0)^2-f(0)..........(5)$
แทน$(5)$ใน$(4)$ จะได้ว่า
$f(0)=(f(0)^2-f(0))^2+f(0)^2-f(0)+1$
$0=f(0)^4-2f(0)^3+2f(0)^2-2f(0)+1$
$0=(f(0)-1)^2(f(0)^2+1)$
แต่ $f(0)^2+1>0$
จะได้ว่า $f(0)=1$
พิจรณา $(5)$
$f(-1)=f(0)^2-f(0)$
$f(-1)=0$
แทน $x=-1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า
$f(-y+1)=-y+2$
นั่นคือ $f(x)=x+1$ ทุกจำนวนจริง $x$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 9 คอมบินาทอริกครับ

$A-B=\sum_{n = 1}^{53}(n^2-n)\binom{53}{n} $

$=\sum_{n=1}^{53}(n)(n-1)\frac{53!}{(n!)(53-n)!}$

$=\sum_{n=1}^{53}\frac{53!}{(n-2)!(53-n)!}$

$=53\cdot 52\cdot [\sum_{n=1}^{51}\binom{51}{n}]$

$=53\cdot 52\cdot 2^{51}$

$=53\cdot 13\cdot 2^{53}$

$\therefore k=53$

[passer-by]

สำหรับคนที่ post ไว้แล้ว

ข้อ 3 Algebra คำตอบยังไม่ครบครับ

ข้อที่ยังตอบผิดอยู่คือ ข้อ 8 Combi และ ข้อ 3 N.T.

ส่วนข้อที่เหลือ ถูกหมดแล้ว

Comment:

(1) ข้อ 1 Algebra ของคุณกิตติ ถูกแล้วครับ จริงๆ มันมีเอกลักษณ์กำลัง 5 อยู่ แต่ผมขี้เกียจจำ

วิธีที่เป็นธรรมชาติวิธีหนึ่ง และผมว่าให้คำตอบค่อนข้างเร็วคือ หลังจากเปลี่ยนตัวแปรแล้วให้ใช้ Newton Formula เพื่อหา $ x^5+y^5 +z^5 $ (ลองดูตัวอย่าง 3 ใน link ประกอบได้ครับ)

2) ข้อ 1 เรขาคณิต มีอีกวิธีที่ไม่ต้องพึ่ง cyclic ใช้แค่สามเหลี่ยมคล้ายก็พอ

3) ข้อ 11 Algebra คล้ายๆโจทย์ข้อหนึ่งใน TMO ครั้งที่ 6 แค่สลับที่ x,y ที่เหลือก็ง่ายแล้วครับ
---------------------------------------------------------------------------------
Note : (1) ข้อ 5 Combi ตรงคำว่า "ทุกและ" ตัดคำว่า"ทุก" ทิ้งนะครับ พอดีเพิ่งเห็นว่าพิมพ์ผิด

(2) ข้างล่างเป็น List ของ Author ของ TMO 7th ที่เพิ่งผ่านมา

(วันแรก) 1. ขอนแก่น 5. วลัยลักษณ์ 8. หาดใหญ่ 10. พระนครเหนือ ส่วนข้อที่เหลือของ สอวน. ครับ
(วันที่สอง) 1. สวนกุหลาบ ข้อที่เหลือของ สอวน.

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ALGEBRA NO.11

$f(-1)=0$
แทน $x=-1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า
$f(-y+1)=-y+2$
นั่นคือ $f(x)=x+1$ ทุกจำนวนจริง $x$

ถ้าแทน $x = เลขตัวนึง$ ไปในฟังก์ชันแล้วทำให้ ฟังก์ชันนั้น $f(x)$ หายไป จะนำค่า $x$ นั้นมาสรุปเป็นกรณีทั่วไปได้เลยหรอครับ

เช่น
แทน $x=-1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า
$f(-y+1)=-y+2$
นั่นคือ $f(x)=x+1$ ทุกจำนวนจริง $x$ <-- นำกรณี $f(-1)=0$ มาสรุปได้เลยหรอครับ?

[LightLucifer]

ผมไม่ได้สรุปจาก $f(-1)=0$ ครับ
ผมเลือกใช้ตัวแปรไม่ดีเองครับ
ผมสรุปจาก
$f(-y+1)=-y+2$
ให้ $-y+1=p$ จะได้ว่า
$f(p)=p+1$
แต่ผมใช้ $x$ แทน $p$ อ่ะครับ

[LightLucifer]

ALGEBRA NO.7
ให้ $x,y,z>0$ โดยที่ $x+y+z=1$ จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{(x+2y)(y+2x)}\geqslant \frac{1}{27}$$

Solution

ให้ $xy+yz+zx=q$

โดยอสมการ $AM-GM$ จะได้ว่า
$$9q^2+1\geqslant 6q$$
$$ 108q^2+12\geqslant 72q..........(1)$$
โดยอสมการ $AM-GM$ เราจะได้ว่า
$$\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{y^2+z^2}{2} +\frac{z^2+x^2}{2} \geqslant xy+yz+zx$$
$$ 1=(x+y+z)^2\geqslant 3(xy+yz+zx)=3q$$
$$ 11\geqslant 33q..........(2)$$
นำ$(1)+(2)$ จะได้ว่า
$$108q^2+23\geqslant 105q$$
$$ 108q^2-108q+27\geqslant 4-3q$$
$$ 27(1-2q)^2\geqslant 1-3q+3$$
$$ \frac{(1-2q)^2}{1-3q+3}\geqslant \frac{1}{27}$$
$$ \frac{((x+y+z)^2-2(xy+yz+zx))^2}{(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)+3}\geqslant \frac{1}{27}$$
$$ \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)+3}\geqslant \frac{1}{27}..........(*)$$
โดยอสมการ $Cauchy-Schwarz$ เราจะได้ว่า
$$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{2-3z+xy-xz-yz+z^2}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)+6-3(x+y+z)}$$
$$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{1+(x+y)-2z+xy-zx-yz+z^2}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)+3}$$
$$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{(1+y-z)(1+x-z)}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)+3}$$
$$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{(x+2y)(y+2x)}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)+3}..........(**)$$

จาก $(*)$ และ $(**)$ จะได้ว่า
$$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{(x+2y)(y+2x)}\geqslant \frac{1}{27}$$
ตามต้องการ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ผมไม่ได้สรุปจาก $f(-1)=0$ ครับ
ผมเลือกใช้ตัวแปรไม่ดีเองครับ
ผมสรุปจาก
$f(-y+1)=-y+2$
ให้ $-y+1=p$ จะได้ว่า
$f(p)=p+1$
แต่ผมใช้ $x$ แทน $p$ อ่ะครับ

ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ALGEBRA NO.7
ให้ $x,y,z>0$ โดยที่ $x+y+z=1$ จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{(x+2y)(y+2x)}\geqslant \frac{1}{27}$$

Typical Approach by Cauchy-Schwarz Inequality:

LHS $\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)}\geq\dfrac{1}{27}$

$\because 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq 1$

$\therefore 12(x^2+y^2+z^2)^2\geq 4(x^2+y^2+z^2)$

$15(x^2+y^2+z^2)^2\geq 5(x^2+y^2+z^2)\geq 5(xy+yz+zx)$

$27(x^2+y^2+z^2)^2 \geq 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)$

[nooonuii]

Algebra # 6 is IMO 1975

Sketch:

By rearrangement inequality,

$\sum a_ic_i\leq \sum a_ib_i$

The rest is trivial.

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณpasser-by เดี๋ยวโหลดมาอ่านดู ไม่รู้ว่าผมจะเข้าใจมากน้อยเท่าไหร่ เพราะเริ่มรู้สึกว่าสมองมันเรียนรู้ไปแบบไปเรื่อยๆ55555
เวปไซด์ที่คุณpasser-byแนะนำนั้นมีชีทให้โหลดอ่านอีกหลายชีทเลย
สำหรับNewton Formula และ Vieta's Formulaอาจประยุกต์ใช้แก้โจทย์ข้อ3ได้ด้วย

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

สำหรับคนที่ post ไว้แล้ว

ข้อ 3 Algebra คำตอบยังไม่ครบครับ

ข้อที่ยังตอบผิดอยู่คือ ข้อ 8 Combi และ ข้อ 3 N.T.

ส่วนข้อที่เหลือ ถูกหมดแล้ว

ขอบคุณมากครับที่ช่วยตรวจให้

ทำถูกข้อเดียวเอง ( ข้อที่ถูกให้อาร์ทช่วยคิดด้วย )

ส่วนข้อที่ผมผิดช่วยเฉลยหน่อยได้ไหมครับ ว่ามันทำยังไง

[Keehlzver]

เอกลักษณ์ดีกรี 5 ที่คุณ passer-by บอกน่าจะเป็นตัวนี้ครับ (ใช้วิธีเเบบพี่ gon สอนในบทความ)

$$x^5+y^5+z^5=(x+y+z)^5-5(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)(x+y)(y+z)(z+x)$$