โจทย์ Integral ค่ะ ช่วยคิดทีนะๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ

[Ding Dong]

จงแสดงการหาค่า limของ ฟังก์ชัน sinx ทั้งหมดยกกำลัง3 คูณ ( cosx+5) คูณ [x]! หาร [x]ยกกำลัง[x] เมื่อ x เข้าใกล้ฅ ,[x] คือ จำนวนเต็มใหญ่สุดที่ไม่มากกว่า x

จงแสดงวิธีทำ ๒ e ยกกำลังln(cosecx cotx } dx

๒ (ึx-1) ทั้งหมดรูท3 dx

๒ lnึlnึx ทั้งหมดหารด้วย xlnx dx ,x มากกว่า1


๒ จาก 0 ถึง ln 2 ของฟังก์ชัน e^x+ex ทั้งหมดหารด้วย 2^ex

[Mastermander]

$$\lim_{x\to\infty}\sin^3x (\cos x+5)\frac{[x]!}{[x]^{[x]}}=0 $$

\[ \int \ln e^{\csc x \cot x}dx= \int \csc x \cot x \ dx \]

$$ \int \sqrt[3]{\sqrt{x}-1}\ dx $$

$$\int \frac{\ln\sqrt{\ln\sqrt{x}}}{x\ln x}\ dx $$

$$\int_0^{\ln 2}\frac{ e^{x+e^x}}{2^{e^x}}\ dx $$

กรุณามายืนยันโจทย์ว่าใช่หรือไม่ด้วยครับ

[Ding Dong]

สมการ2 เป็น๒ e^{ln(cosecxcotx)} dx ค่ะ
สมการอื่นถูกต้องแล้วค่ะ ช่วยบอกวิธีคิดคร่าวๆด้วยนะคะ
ขอบคุณมากค่ะ

[Mastermander]

$$\lim_{x\to\infty}(\sin^3x)(\cos x+5)\frac{[x]!}{[x]^{[x]}}=0 $$
by Squeezing theorem

\[ \int e^{\ln \csc x \cot x}dx= \int \csc x \cot x \ dx =-\csc x +c\]

$$ \int \sqrt[3]{\sqrt{x}-1}\ dx $$
Let $u = \sqrt{x}-1$
$$ \int \sqrt[3]{\sqrt{x}-1}\ dx =\frac{3}{14}(\sqrt{x}+1)^{4/3}(4\sqrt{x}+3)$$
$$\int_0^{\ln 2}\frac{ e^{x+e^x}}{2^{e^x}}\ dx =\int_0^{\ln 2}e^x(\frac{e}{2})^{e^x}\ dx $$

$$=\int_0^{\ln 2}(\frac{e}{2})^{e^x}\ d(e^x) $$
Edit :
$$ =\bigg[(\frac{e}{2})^{e^x}(\ln(e/2))^{-1}\bigg]_0^{\ln 2} $$

[gon]

ข้อ ln สมมติให้ $u = \sqrt{ln\sqrt{x}}$

[M@gpie]

ข้อสุดท้าย ตัว \(\ln ( \frac{e}{2}) \) ต้องเป็นหารรึเปล่าครับ น้อง Mastermander
เพราะ \[\int a^x dx = \frac{a^x}{ \ln a} + C \]

[M@gpie]

Consider \[ \int \frac{\ln (\ln x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} }{x\ln x} dx = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln ( \frac{\ln x}{2} )}{x\ln x} dx = \int \frac{1}{2} \ln (\frac{\ln x}{2}) d \biggr( \ln (\frac{\ln x}{2} ) \biggr)\]
then
\[\int \frac{\ln (\ln x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} }{x\ln x} dx = \frac{1}{4} \biggr ( \ln (\frac{\ln x}{2}) \biggr)^2 + C \]

[Mastermander]

อุ่ย..ผิดจริงด้วยครับ แฮะๆ

$\int a^x dx = \frac{a^x}{ \ln a} + C$
$$\therefore \int (e/2)^u du = \frac{(e/2)^u}{\ln(e/2)}\quad ,u=e^x$$


จากนั้นก็แทนค่า....จบ