รบกวนช่วยแก้โจทย์ให้หน่อยครับ

[golfkungpnru]

1. จำนวนเฉพาะบวกที่หาร (1024^3) + (16^4) ลงตัว มีทั้งหมดกี่จำนวน
1. 4 จำนวน 2. 5 จำนวน 3. 7 จำนวน 4. 9 จำนวน
2. ผลบวกของคำตอบของสมการ (\sqrt{10+\sqrt{99} } )^x + (\sqrt{10-\sqrt{99} } )^x = 20 เท่ากับเท่าใด

[otakung]

1. $1024^3+16^4=2^{30}+2^{16}$

$=2^{16}(2^{14}+1)$

ค่าในวงเล็บลองเอา $2\cdot 2^7$ บวกเข้าแล้วลบออกแล้วลองจัดรูปดู

2. $(\sqrt{10+\sqrt{99}})^x+(\sqrt{10-\sqrt{99}})^x=20$

ลองให้ $a=(\sqrt{10+\sqrt{99}})^x$ จะได้ว่า $(\sqrt{10-\sqrt{99}})^x=\frac{1}{a}$

หลังจากนี้น่าจะทำต่อได้ครับ

[golfkungpnru]

รบกวนช่วยทำต่อให้เสร็จทั้งสองข้อได้ไหมครับ

[<KAB555>]

$1024^3+16^4=2^{16}(2^{14}+1)
=2^{16}(2^{14}+2\cdot 2^7+1-2\cdot 2^7)
=2^{16}((2^7+1)^2-2\cdot 2^7)
=2^{16}(129^2-2^8)$
$=2^{16}(129^2-16^2)
=2^{16}(129-16)(129+16)
=2^{16}(113)(145)
=2^{16}(113)(5)(29)$
จะได้จำนวนเฉพาะที่หาร 1024^3+16^4 คือ 2, 5, 29, 113

[<KAB555>]

$(\sqrt{10+\sqrt{99}})^x+(\sqrt{10-\sqrt{99}})^x=20$
ให้ $(\sqrt{10+\sqrt{99}})^x=A$ และ $(\sqrt{10-\sqrt{99}})^x=B$
จะได้ $(\sqrt{10+\sqrt{99}})^x+(\sqrt{10-\sqrt{99}})^x=20\Rightarrow A+B=20$
และ $(\sqrt{10+\sqrt{99}})^x(\sqrt{10-\sqrt{99}})^x=((\sqrt{10+\sqrt{99}})(\sqrt{10-\sqrt{99}}))^x=(\sqrt{(10+\sqrt{99})(10-\sqrt{99})})^x =(\sqrt{100-99})^x=1$
$\Rightarrow AB=1$

จาก $A+B=20$ และ $AB=1$ จะได้ $A^2+2AB+B^2=400$ จะได้ $A^2+B^2=400-2AB=400-2=398$
จะได้$A^2-2AB+B^2=398-2=396\Rightarrow A-B=2\sqrt{99} หรือ B-A=2\sqrt{99} $
ดังนั้นจะได้ $2A=20+2\sqrt{99} $ และ $2B=20-2\sqrt{99} $ หรือ $2A=20-2\sqrt{99} $ และ $2B=20+2\sqrt{99} $
ดังนั้น $A=10+\sqrt{99}$ และ $B=10-\sqrt{99}$ หรือ $A=10-\sqrt{99}$ และ $B=10+\sqrt{99}$

จากที่เรากำหนดไว้ ให้ $(\sqrt{10+\sqrt{99}})^x=A$ และ $(\sqrt{10-\sqrt{99}})^x=B$
จะได้ $(\sqrt{10+\sqrt{99}})^x=A=10+\sqrt{99}$ และ $(\sqrt{10-\sqrt{99}})^x=B=10-\sqrt{99}$
ดังนั้น X=2
หรือ $(\sqrt{10+\sqrt{99}})^x=A=10-\sqrt{99}$ และ $(\sqrt{10-\sqrt{99}})^x=B=10+\sqrt{99}$
ดังนั้น X=1/2

[golfkungpnru]

ข้อ 2 คำตอบ x = 2 หรือ -2 ไม่ใช่ 1/2 นะครับ
เพราะว่าอีกอันมันตรงข้ามกับอันเเรก แทนค่ากลับเป็นจริงทั้งสองคำตอบ ครับ
ขอบคุณครับที่ช่วยแก้โจทย์ให้ครับ ����