GEO Practice

[จูกัดเหลียง]

ผมชอบข้อนี้มากอ่ะครับ สวยดี 555 (อาจจะง่ายไปสำหรับหลายๆท่านนะครับ เเต่ผมว่ามันก็ยากอยู่ดี) เป็น shortlistTMO8th ครับ
กำหนด $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มี $\hat C=90^o$ เเละ $D$ เป็นจุดในสามเหลี่ยมนี้ เส้นตรง $AD,BD,CD$ ตัดด้าน $BC,AC,AB$ ที่จุด $P,Q,R$ ตามลำดับให้ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $PQ$ เเละ $\hat {BRP}=\hat {PRC}$ จงเเสดงว่า $MR=MC$

Hint to MY solution

try to prove $\hat{PRQ}=90^o$

[BLACK-Dragon]

1.ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมนูน AB ตัด CD ที่ K และให้ P อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งมุม AKD โดยที่ BP,CP แบ่งครึ่ง AC,BD ตามลำดับ จงแสดงว่า AB=CD

2. a,b,c เป็นด้านของสามเหลี่ยมจงแสดงว่า $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a^2+b^2+c^2) \leq abc(ab+bc+ca)$

3.ให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน และ $AC$ ตัด $BD$ ที่ E แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม 4 รูป ให้ $G_1,G_2$ เป็นจุด centroid ของสามเหลี่ยม $ABE$ และ $CDE$ และ $H_1,H_2$ เป็น orthocenter ของสามเหลี่ยม $ADE$ กับ $BCE$ พิสูจน์ว่า $G_1G_2 \bot H_1H_2$

[จูกัดเหลียง]

1.we know that $KD/KB=DP/PB=1$ so $KD=KB$ and get $KA=KC$ by Menelaus Th. we get $AB/AK\cdot KC/CD\cdot DP/PB=1$ or $AB=CD$ ปล.ไม่เน่ใจว่า P เป็นจุดตัดของ AC,BD หรือป่าวอ่ะครับเเล้วผมก็ได้ว่ามัน คอนไซคลิกด้วย
2.TU gifted have proved เเต่ผมว่าคงมีวิธีเเบบเรขาเเน่ๆ
3.ผมเคยเห็นเเล้วนะครับ เเต่คิดว่าชาตินี้คงไมมีปัญญาทำได้เเน่ๆ 5555

[BLACK-Dragon]

ทำไม P เป็นจุดตัดล่ะครับ ถ้าเป็นจุดตัดกก็ได้ BP=PD , AP=PC เลยสิครับได้ CD=AB เลยสิครับ

[จูกัดเหลียง]

เป็นเเบบนี้ใช่ป่ะครับ ยากไปไหม = =

[จูกัดเหลียง]

ตอนนี้ผมมีปัญญาทำเเค่ข้อเเรกเองครับ ส่วนข้อสองเดาว่าให้พิสูจน์ว่าเป็สี่เหลี่ยมรูปว่าวป่ะครับ
สำหรับข้อเเรก ให้ $L$ line on $KP,BC$ and $BF=FD,AE=EC$ where $E,F$ line on $BP,CP$ respectively so by Menelaus we get $\dfrac{BA}{AK}\dfrac{KC}{CD}\dfrac{DF}{FB}=1$ so $\dfrac{BA}{AK}=\dfrac{CD}{CK}$ and we also get $\dfrac{CL}{LB}\dfrac{BK}{KA}\dfrac{AE}{EC}=1$and we know $\dfrac{CL}{LB}=\dfrac{CK}{KB}$ so $CK=KA$ and $AB=CD$