ลำดับและอนุกรม 6 ข้อครับ

[PoseidonX]

อยากรู้วิธีทำของโจทย์ 6 ข้อนี้น่ะครับ

คือกำลังจะสอบ ผมก็เลยหาโจทย์มาทำ แต่ 6 ข้อนี้ทำไม่เป็นครับ เลยอยากให้พวกพี่ๆ ช่วยสอนหน่อยครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

1.ถ้า U = { 200, 201,202 ,........,400} แล้วผลบวกทั้งหมดของจำนวนในเซต U ที่หารด้วย 8 หรือ 12 ลงตัว เท่ากับเท่าไร

2.ผลบวกของจำนวนเต็มบวก 400 ตัวแรกซึ่งไม่สามารถหารลงตัวด้วย 5 หรือ 2 คือเท่าไร

3.ถ้า ${a_1,a_2,a_3,.....}$ เป็นลำดับที่มีผลบวก n พจน์แรก กำหนดโดย ${s_n = n^2-5n}$ แล้ว ${a_1+a_3+a_5+.......+a_{2n-1}}$ มีค่าเท่าไร

4.ถ้า $\sqrt{2},b,a,b^2,ab$ เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว ค่าของ $a(b+1)$ เท่ากับเท่าไร

5.ในปี พ.ศ.2540 ประชากรในระนองมี 60,000 คน ถ้าประชากรในระนองเพิ่มขึ้นปีละ 2% จงหาจำนวนประชากรในปี 2555

6.ถ้าผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 2 ชุด เป็นอัตราส่วน 7n+2 : n+4 แล้วอัตราส่วนของพจน์ที่ 5 มีค่าเท่ากับเท่าไร

[cenia]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoseidonX

3.ถ้า ${a_1,a_2,a_3,.....}$ เป็นลำดับที่มีผลบวก n พจน์แรก กำหนดโดย ${s_n = n^2-5n}$ แล้ว ${a_1+a_3+a_5+.......+a_{2n-1}}$ มีค่าเท่าไร

ขอหยิบข้อนี้แล้วกันครับ ถนัดมือดี

จาก $S_n = n^2-5n$ จะได้ว่า
$S_{n-1} = (n-1)^2-5(n-1)$
$S_{n-1} = n^2-2n+1-5n+5$
$S_{n-1} = n^2-7n+6$

$S_n - S_{n-1} = (n^2-5n) - (n^2-7n+6)$

$(a_1+a_2+a_3+...+a_n) - (a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}) = 2n-6 $

$a_n = 2n-6$

$a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-1} = -4 +0 +4 + 8+...+[2(2n-1)-6]$

$a_n = 4n-8$

$\therefore $ ผลบวกมีค่า $\frac{n}{2}(-4+[2(2n-1)+6])$

$=\frac{n(4n)}{2}$

$=2n^2$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoseidonX

1.ถ้า U = { 200, 201,202 ,........,400} แล้วผลบวกทั้งหมดของจำนวนในเซต U ที่หารด้วย 8 หรือ 12 ลงตัว เท่ากับเท่าไร

ขอข้อนี้แล้วกัน สวยดี

จำนวนใน U ที่หารด้วย 8 ลงตัวมี 200,208,216,...,400 ผลบวกเป็น 8(25+26+27+...+50) = 8(13)(75)=7800

จำนวนใน U ที่หารด้วย 12 ลงตัวมี 204,216,...,396 ผลบวกเป็น 12(17+18+...+33) = 12(25)(17)=5100

จำนวนใน U ที่หารด้วย 8 และ 12 ลงตัวมี 216,240,...,384 ผลบวกเป็น 24(9+10+...+16) = 24(25)(4)=2400

ดังนั้นผลบวกทั้งหมดของจำนวนในเซต U ที่หารด้วย 8 หรือ 12 ลงตัว เท่ากับ 7800+5100-2400 =10500 ตัว

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoseidonX

อยากรู้วิธีทำของโจทย์ 6 ข้อนี้น่ะครับ

คือกำลังจะสอบ ผมก็เลยหาโจทย์มาทำ แต่ 6 ข้อนี้ทำไม่เป็นครับ เลยอยากให้พวกพี่ๆ ช่วยสอนหน่อยครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

4.ถ้า $\sqrt{2},b,a,b^2,ab$ เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว ค่าของ $a(b+1)$ เท่ากับเท่าไร

อันนี้
$\frac{b}{\sqrt{2} }=\frac{a}{b}=\frac{b^2}{a}$
2 สมการ 2 ตัวแปร จบแล้ว

[PoseidonX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ขอข้อนี้แล้วกัน สวยดี

จำนวนใน U ที่หารด้วย 8 ลงตัวมี 200,208,216,...,400 ผลบวกเป็น 8(25+26+27+...+50) = 8(13)(75)=7800

จำนวนใน U ที่หารด้วย 12 ลงตัวมี 204,216,...,396 ผลบวกเป็น 12(17+18+...+33) = 12(25)(17)=5100

จำนวนใน U ที่หารด้วย 8 และ 12 ลงตัวมี 216,240,...,384 ผลบวกเป็น 24(9+10+...+16) = 24(25)(4)=2400

ดังนั้นผลบวกทั้งหมดของจำนวนในเซต U ที่หารด้วย 8 หรือ 12 ลงตัว เท่ากับ 7800+5100-2400 =10500 ตัว

สงสัยนิดนึงครับ พวกที่อยู่ในวงเล็บเช่น 17+18+...+33 นี่มาจากไหนหรืิอครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoseidonX

สงสัยนิดนึงครับ พวกที่อยู่ในวงเล็บเช่น 17+18+...+33 นี่มาจากไหนหรืิอครับ

12(17+18+...+33)=204+216+228+240+...+396

[PoseidonX]

ใครคิดข้อที่เหลือได้ช่วยผมทีคร้าบ

จะได้เอาไปเป็นแนวทางการทำโจทย์เวลาสอบครับ (คือที่ผมเรียนที่ ร.ร. มันยังไม่มีโจทย์แนวพวกนี้ครับ แต่กลัวว่าจะออกสอบด้วย)

[-InnoXenT-]

ข้อ 5

จะเห็นว่า ในทุกๆปี จะมีประชากรเพิ่มขึ้นเป็นจำนวน $\frac{2}{100}$ ของจำนวนประชากรเริ่มต้น
จะได้

ประชากรปี 2541 $= 60,000 + 60,000(\frac{2}{100}) = 60,000(\frac{102}{100})$
ประชากรปี 2542 $= 60,000(\frac{102}{100}) + 60,000(\frac{102}{100})(\frac{2}{100}) = 60,000(\frac{102}{100})^2$

ดังนั้น ประชากรปี 2555 $= 60,000(\frac{102}{100})^15 = 80,752$ คน

ข้อ 6

เริ่มแรกก็ต้องคิดว่า มีพจน์สองพจน์ในลำดับ รวมแล้วได้ สองเท่าของพจน์ที่ $5$
คิดดังนี้ กำหนดลำดับ $x_n$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริง มีผลต่างร่วมเป็น $d$ และ $S_n$ เป็นผลรวมพจน์ที่ $n$ ของ $x$ จะได้

$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$

และ $x_5 = x_1 + 4d$
$2x_5 = 2x_1 + 8d$
$2x_5 = x_1 + (x_1+8d)$

ดังนั้น ลองกำหนด $n = 8$ ลงในอัตราส่วน $\frac{7n+2}{n+4}$ โดยให้ ผลรวมด้านบนเป็นผลรวมของลำดับเลขคณิต $a_n$ ผลรวมด้านล่างเป็นผลรวมของลำดับเลขคณิต $b_n$

$\frac{\frac{8}{2}(a_1+a_8)}{\frac{8}{2}(b_1+b_8)} = \frac{58}{12}$
$\frac{2a_5}{2b_5} = \frac{29}{6}$

$\frac{a_5}{b_5} = \frac{29}{6}$

[แมวสามสี]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PoseidonX

6.ถ้าผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 2 ชุด เป็นอัตราส่วน 7n+2 : n+4 แล้วอัตราส่วนของพจน์ที่ 5 มีค่าเท่ากับเท่าไร

กำหนด $A_n = a_1+a_2+a_3+...+a_n = \frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d_1)$

$B_n = b_1+b_2+b_3+...+b_n = \frac{n}{2}(2b_1+(n-1)d_2)$

$\frac{A_n}{B_n} = \frac{2a_1+(n-1)d_1}{2b_1+(n-1)d_2} = \frac{7n+2}{n+4}$

$\frac{a_5}{b_5} = \frac{a_1+4d_1}{b_1+4d_2} = \frac{2a_1+8d_1}{2b_1+8d_2} = \frac{A_9}{B_9} = \frac{7(9)+2}{9+4} = \frac{65}{13} = \frac{5}{1}$

[cenia]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แมวสามสี

$\frac{2a_1+8d_1}{2b_1+8d_2} = \frac{A_9}{B_9}$

สอบถามตัวแดงหน่อยครับ

พอดีผมอ่านแล้ว งงๆ ว่า มันเท่ากันได้อย่างไร และ สังเกตุอย่างไรครับ

[LightLucifer]

ก็ลองแทนค่า n=9 ในสมการด้านบนดูสิครับ

[แมวสามสี]

เนื่องจาก $\frac{A_n}{B_n} = \frac{2a_1+(n-1)d_1}{2b_1+(n-1)d_2}$

ดังนั้น $\frac{2a_1+8d_1}{2b_1+8d_2} = \frac{2a_1+(9-1)d_1}{2b_1+(9-1)d_2} = \frac{A_9}{B_9}$ ครับ

[cenia]

เข้าใจเลยครับ

ขอบคุณมากๆๆ

[PoseidonX]

ขอบคุณทุกท่านมากครับที่มาช่วยหาคำตอบ ^^